No.2ベストアンサー
- 回答日時:
r=5における変化率を求めるので、r=5の近傍でその変化を調べれば良いだけです。
微分は、関数のその点における変化率の極限です。
つまり、はじまりを0にする必要は無いです。
球の体積の公式、V=3Πr^3/4を元にして、rに関して微分を求めれば良いだけですよ。
dV/dr=9Πr^2/4ですから、r=5の変化率は、9Π5^2/4=225Π/4となります。
定義どおりに、lim[Δr→0](((3Π(5+Δr)^3/4)ー(3Π5^3/4))/Δr)から求めてもかまいません。
3Π/4は定数項なので、外に出すと、(5^3-5^3+3・5^2Δr+3・5Δr^2+Δr^3)/Δr)=3・5^2+3・5Δr+Δr^2
したがって、Δr→0の場合は、3・5^2=75が残ります。
外に出した、3Π/4をかければ、75・3Π/4=225Π/4となります。(微分公式で求めたのと同じですね)
以上は、球の体積の公式を知っている場合です。
質問文での問題が、どの程度の知識で答えるかで、解き方は異なってきますね。
No.3
- 回答日時:
回答の中の3/4は、4/3の間違いでした。
したがって、No.1さんの回答が正解です。
以下、訂正です。(微分公式の部分は、No.1さんで正解ですから、はぶきます)
定義どおりに、lim[Δr→0](((4Π(5+Δr)^3/3)ー(4Π5^3/3))/Δr)から求めてもかまいません。
4Π/3は定数項なので、外に出すと、(5^3-5^3+3・5^2Δr+3・5Δr^2+Δr^3)/Δr)=3・5^2+3・5Δr+Δr^2
したがって、Δr→0の場合は、3・5^2=75が残ります。
外に出した、4Π/3をかければ、75・4Π/3=100Πとなります。
No.1
- 回答日時:
まず、ここは経済学のカテであって、数学のカテではありませんが、よいのでしょうか?
半径rの球の体積をV(r)と書くと、半径rをr=5からr=5+hへ変化させたときの(平均)変化率は
[V(5+h)-V(5)]/h
であることはよろしいですよね!r=5における変化率とはこのhをゼロに無限に近づけたときの、(平均)変化率で、
lim h→0 [V(5+h)-V(5)]/h
と書き、この極限が存在するとき、V'(5)と表します。つまり、V'(5)とは、関数V(r)をrで微分し、それをr=5で評価した値になります。したがって、V'(5)はr=5から半径rを微小量変化させたときの(平均)変化率ということになります。
より具体的には、V(r)=(4/3)πr^3なので、V'(r)=4πr^2であり、Vのr=5における変化率はr=5をこの導関数へ代入し、 V'(5)=100πという値になります。
あなたの「0スタート」とはどういう意味でしょうか?
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