コンデンサに蓄えられるエネルギーについてなのですが、 コンデンサの条件が誘電率ε、蓄えられるエネルギ

コンデンサに蓄えられるエネルギーについてなのですが、
コンデンサの条件が誘電率ε、蓄えられるエネルギー=W、極板間の誘電体の体積V、極板間の電界の大きさEとすると

WはVに比例するようです。それは分かるのですが、式にするとおかしくなってしまいます。
W=(1/2)CV^2なのでCに着目し、極板間の距離d、面積Sとすると
体積V=S×d
静電容量C=εS/dより
Sにその関係を代入すると
C=体積V/d^2
dに関係を代入すると
C=S^2/体積V
となってしまい体積VがCに比例するのか反比例するのか分からなくなってしまいました。どこを間違えているのでしょうか

質問者からの補足コメント

• 質問が分かりにくくすみません
  静電容量Cについて、
  C=εS/dより
  体積V=S×dの関係を代入すると
  
  Sに代入
  C=εV/d^2
  
  dに代入
  C=εS^2/V
  
  となり、Cは体積に比例するのか反比例するのか分からなくなってしまいました。

    補足日時：2016/07/29 20:00

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/07/29 21:02

#2です。

Cが体積に比例するのではありません。Wが体積に比例するのです。

では実際に計算してみましょう。
Sを消去した場合
C=εV/d^2,v=Ed
W=(1/2)C*v^2=(1/2)*εV/d^2*(Ed)^2=(1/2)εE^2*V∝V

dを消去した場合
C=εS^2/V,v=Ed=EV/S
W=(1/2)C*v^2=(1/2)*εS^2/V*(EV/S)^2=(1/2)εE^2*V∝V

上の式からわかるように(1/2)εE^2が誘電体内のエネルギー密度をあらわしています。

この回答へのお礼

わざわざどうもありがとうございます。とてもよく分かりました！

お礼日時：2016/07/30 04:03

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/30 03:59

>WはVに比例するようです。

これじゃ足りないですね。

誘電体の単位体積体積あたりに蓄えられるエネルギーは
電場の2乗に比例します。これが基本。

電場 E=V/d、v=Sd=体積 とすれば

W=(1/2)CV^2=(1/2)ε(S/d)V^2 =(1/2)εSd(V/d)^2=(1/2)εvE^2

ですから静電エネルギーは 体積に比例し、電場の2乗に比例します。

Cは体積に比例も反比例もしません。式の通り極板面積に比例し、
極板間距離に反比例します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。よくよく考えると比例も反比例もしない…納得できました。ありがとうございます

お礼日時：2016/07/30 04:04

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/29 20:43

No.1です。

＞電圧Vは置いといたとしてCにC=εS/dを代入するとうまくいかないんです…

　いやいや、コンデンサーの容量は
「断面積に比例し、電極間の距離に反比例」
ですから、コンデンサー間の体積との間には何の関係も成立しませんよ。

　同じ体積で、
「断面積を倍に、電極間の距離を半分にすれば、容量は4倍」
ですし、
「断面積を半分に、電極間の距離を2倍にすれば、容量は1/4」
ですし。

　体積一定で、容量はどんな具合にでも変更できます。

この回答へのお礼

たしかにそうでした。算数レベルですよね…恥ずかしい限りです。どうもありがとうございました！

お礼日時：2016/07/30 04:06

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/07/29 18:13

同じ記号だと混乱するので電圧は小文字にします。

＞WはVに比例するようです。
この文の前提条件を無視して話をしてはいけません。
WがVに比例するのは誘電体の誘電率εと極板間の電界の大きさEが一定の場合に限られます。これが変化している条件下では成り立ちません。

極板間の電圧vは極板間の距離dと電界Eから
v=Ed
とあらわされます。
Eが一定でdが変わると電圧vも変化するのです。この点を考慮に入れるとdから式を立ててもSから式を立てても矛盾がないことが示せるはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。イメージとしても体積Vに比例する事は分かるのですがCについて変形する式にするとわけのわからないことになってしまいます

お礼日時：2016/07/29 19:49

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/29 16:13

絶対的な間違いとして、

　　W=(1/2)CV^2
の V は「体積」などではなく、電極間の電圧です。

その勘違いを正せば、多分大丈夫でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。すみません書き方が悪かったです。
電圧Vは置いといたとしてCにC=εS/dを代入するとうまくいかないんです…

お礼日時：2016/07/29 19:51