関数列？について

X_n=(X_n-1^2+X_n-1)
X_1=x
としY_nも同様に定義する。
C_n:(X_n+X_n^2)^2+(Y_n+Y_n^2)^2=1によりC_nも定める
例えばC_1=x^2+y^2=1
C_2=(x^2+x)^2+(y^2+y)^2=1
である
この時n→∞でC_nはどのような曲線？に収束するのか答えよ

上は自作の問題ですが関数列についての知識が疎いことも手伝いわかりません。
グラフにすると面白かったので気になりました。
どうか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2016/09/13 10:21

(x,y)をグラフにしてみたとおっしゃるところを見ると実数だけでお考えであろうかと。

だとするとえーと、「関数列」と思うより、「初期値(X_n, Y_n)が(f(x),f(y))の逆変換をn回受けたときにどこに写るか」という反復縮小写像の話だと思ったほうがわかりやすいのではないか？
　　f(x) = x^2+x　= x(x+1)
という変換の値域は[-1/4,∞)ってことはn→∞のときf^nの値域の下限は0に収束する。fはx>-1/2では単調増加で、だからf^n (n>1) の値域ではいたるところ単調増加ということになる。x≧0ではdf/dx≧1であり、不動点はf(0)=0であって、f^nでもこれらは成り立つけれど、nが大きいほど、x>0における傾きが急になる。
　なので（X_n+1, Y_n+1)∈C_nの描く円は、(x,y)では x=c, y=c (c>0)とx軸およびy軸が囲む正方形の内側で、直線x=cと直線y=cに漸近する曲線になる。nが大きいほど(x,y)は直線x=cと直線y=cに近づく。そしてn→∞のときc→0なので、(x,y)=(0,0)に収束するだろうな。んー、それほど面白くないと思う。