この問題の答えと途中計算を教えてください。

この問題の答えと途中計算を教えてください。

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/27 11:40

問題文より

放物線上の点の座標を(x,y)とした時、
(x-1)^2+y^2=(x+1)^2
x^2-2x+1+y^2=x^2+2x+1
y^2=4x
x=(1/4)y^2
となる。

xをyで微分すると
x'=2(1/4)y=(1/2)y
yの変化量/xの変化量を傾きとするならば、
これは逆数であるので、
2/yが傾きとなる。
(-1,t)を通り、傾きが2/yの直線とx=(1/4)y^2が接するので、
2/y=(y-t)/(x+1)
=(y-t)/((1/4)y^2+1)
=4(y-t)/(y^2+4)
y^2+4=2y(y-t)
y^2-2yt-4=0
y=(1/2)(2t±√(4t^2+16))
=t±√(t^2+4)
このyが接点でのy座標なので、その傾きα,βは
α=2/(t+√(t^2+4))
β=2/(t-√(t^2+4))
とすることが出来る。(α,βは逆でも可)
αβ=4/(t^2-(t^2+4))
=4/(-4)
=-1
となる。

y=t±√(t^2+4)の時、
x=(1/4)y^2
=(1/4)(t^2±2t√(t^2+4)+t^2+4)
=(1/4)(2t^2±2t√(t^2+4)+4)
=(1/2)(t^2±t√(t^2+4)+2)
接点の座標を(AX,AY),(BX,BY)とすると
AF+BF=√((AX-1)^2+AY^2)+√((BX-1)^2+BY^2)=6
√((AX-1)^2+AY^2)
=√(AX^2-2AX+1+AY^2)
=√(AX^2-2AX+1+4AX)
=√(AX^2+2AX+1)
=√(AX+1)^2
=AX+1
√((BX-1)^2+BY^2)
=√(BX^2-2BX+1+4BX^2)
=√(BX^2+2BX+1)
=√(BX+1)^2
=BX+1
AF+BF=AX+1+BX+1
=AX+BX+2
=(1/2)(t^2+t√(t^2+4)+2)+(1/2)(t^2-t√(t^2+4)+2)+2
=(t^2+2)+1
=t^2+3
=6
t^2+3=6
t^2=3
t=±√3