aを実数とする。三次方程式c^3−4x+a=0の解が全て実数となるようなaの範囲を求めよ。 この問題

aを実数とする。三次方程式c^3−4x+a=0の解が全て実数となるようなaの範囲を求めよ。
この問題を解く場合に定数分離をして、その後y=x^3−4xとy=aのグラフが接する時も含めて3点で交わればいいとあるのですが、なぜこうなることで、解が全て実数となるのでしょうか？定数分離とはあくまで解の個数を求めるもので、解が実数であるかどうかまでは判別できないのでは？1点で交わるのがなぜダメなのか？
また極値を掛け合わせることで解こうとした場合に掛け合わせて0以下となれば答えになると思うのですが、この場合は実数解の個数が2個、または、3個というような場合になると思うのですが、なぜ1個ではだめなのでしょう？
解説をお願いします。

No.1 回答者： teenagerhesitate 回答日時： 2017/04/30 12:49

基本的に3次方程式には解が実数解、虚数解問わず3つ存在しますが、重解の場合に2個ないしは1個存在します。

解が1つのみの場合、x^3−4x+a=0は3重解の因数分解の形には成り得ないので残りの解に虚数解が存在することにより題意に反する。（微分が分かれば理解できるはずです。）

ちなみに、実数全体における3次関数は基本、必ず実数解を1つ以上持つことはグラフからも明らかであり、虚数解をもつ場合は必ず共役な複素数の2セットがあるはずなので、3次関数の解の組み合わせは　　3つとも実数解　　1つ実数解、2つ虚数解　　2つ実数解　　1つ実数解　　に分岐します。