2階定数係数同次微分方程式について

2階定数係数同次微分方程式の解を
x=e^(λt)
とおくのが定石ですが、参考書にはx=e^(λt)とおくのは代数方程式を得るためだと書いてあります。

しかし、これは天下り的な答えではないかと思いました。つまり、x=e^(λt)とおいたら代数方程式になるのがわかっているからこう置けるのであって、なぜこう置くかの根拠には乏しい気がします。

何かもっと明確な根拠があるのか、それともこれが数学の考え方の一つであるのか、また僕は数学の考え方がいまいちよく理解しておらずみなさんがどのように考えているか個人的な意見も聞かせてもらえると嬉しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/05/05 11:37

正直な話、これは”天下り”なんです(^^;)

ただし、”天下り”と言っても、数学から分かっている結果の”天下り”なんですね(^^)
「解析学」の本で、定数係数同次微分方程式（または、定数係数線形微分方程式）の所を開いてみると証明が載っているはずです(´ω｀*)
まあ、物理や工学分野では、解の形が分かっていんだから、（面倒くさいので？）それを使っちゃえって話ですね(^^A)
気になるのは「解の一意性」・・・つまり、微分方程式の解は本当にこれだけなの？・・・かも知れませんね(￣、￣）
「解の一意性」についても、数学では定理があるのですが、数学の微分方程式論にマジ入ってしまうので、
私は、あんまり深く考えないようにしています(^^A)ﾑｾｷﾆﾝ!

あんまり参考にならなくてゴメンなさい<(_ _)>

この回答へのお礼

>>物理や工学分野では、解の形が分かっていんだから、（面倒くさいので？）それを使っちゃえって話ですね(^^A)
なるほど、確かにめんどくさい？笑使った方が早いですね❗️

入りすぎると数学の奥深くまで行ってしまいますよね。
どう考えているか知れたので助かりました❗️(^_^)

またよろしくお願いします

お礼日時：2017/05/05 12:03

No.3 回答者： doc_somday 回答日時： 2017/05/05 20:16

他の方の解答を見ていないので、重複しているかもしれませんが、参考書が正しいのです。

これは「もう解っているのだから迷うな」と言うことで、早い話受験のための「抜け道です」、置換積分や、極座標で全空間を積分するのと同じです。
二つの理由があります。受験数学は容易に見つかる解がある問題しか出ない。微積に慣れて欲しい、大学で微積無しではお話にならない。
実世界で必要なのは「解けない微積」です。だが初めから解けない微積では時間の無駄、だからトレーニングと式の意味を覚えて欲しい、という事です。
実世界でもこの解ける微積には意味があり、たとえば量子論のシュレーディンガー波動方程式は二階の微分方程式なので、シュレーディンガーは迷わず波動方程式を使って解きました。
ハイゼンベルクもこいつは行列式だ、と言って解きました。両者とも些末な部分を無視したモデル系です。摂動を入れるのは既に流行りません、スパコンで強引に解きます。
特にファインマン先生が経路積分を使いだしてからはそればっかり。暴走しましたが。受験では「これは解けない」問題は出ません、フェルマーの最終定理じゃないのです。
だから解法は既に解っており、少し意地悪してある程度。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/05/05 10:26

う～ん、たぶんそれは微分してもとの関数の定数倍になる関数が、x=e^(λt)の形しかないという

ことからきてるんでしょうね。