定義関数（特性関数）の上極限、下極限の実例

Aを空間Xの中の集合とし、Xの上で関数χA（x）を
χA（x）はx∈Aのとき１，x∉Aのとき０　で定義する。　これが定義関数（特性関数）と呼ばれるものですが。

χA（ｘ）をχ（x;A）とも書くようです。
このとき
ー　　　　　－
χ（x;lim　An）＝lim　χ（x;An)　　χ（x;lim　An）＝lim　χ（x;An)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－　　　　　－
（limの上にバーで上極限、下にバーで下極限を表しています）
となるらしいのですが、それぞれの右辺の定義関数（特性関数）の上極限や下極限の具体例のイメージがつかめません。集合や数列は比べるものの大小がはっきりしているので上極限、下極限のイメージはつかめますが、特性関数の関数列？となると、どう考えたらいいのでしょう。簡単な実例などで、教えていただけるとありがたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/26 19:29

その後, 進展はありましたか.

誤解なさっているようですが, 貴方が比較的よく分かっている（分かっていた）のは, むしろ右辺のほうです.
最初の質問と ANo.2 のお礼を読むと, 関数列の上極限と下極限にこだわっているようですが, なにか錯覚していませんか.
関数列 {f_n} が与えられたとき, 定義域の点 x を決めて固定すれば, {f_n(x)} は数列であって, 関数列ではありません.
つまり, 右辺は数列の上極限（下極限）であり, ANo.1 のお礼を読んだときは, そのことは理解できたのかな, と思ったのですが...
また混乱してしまったのでしょうか.
で, 定義を知らないことが原因だと思いますが, 貴方がまったく分かっていないのは, 左辺のほうです.
集合列 {A_n} が, 必ずしも全順序集合でないことに注意してください.
そこで, B_n = ∪_(m≥n)A_m, C_n = ∩_(m≥n)A_m で定義される集合列 {B_n} と {C_n} を考えます.
C₁ ⊂ C₂ ⊂ C₃ ⊂ ... ⊂ C_n ⊂ C_(n+1) ⊂ ... ⊂ B_(n+1) ⊂ B_n ⊂ ... ⊂ B₃ ⊂ B₂ ⊂ B₁
となるのですが, 理解できますか.
ここで, 集合列 {A_n} の上極限を ∩_(n≥1)B_n, 下極限を ∪_(n≥1)C_n で定義します.
ここまでを理解できたら, 貴方が「このとき ～ となるらしい」と書いた 2 つの命題を証明してください.
いきなり証明するのが難しければ, 以下の具体例で考えてみるといいでしょう.
X = R, n が奇数のとき A_n = R ╲ Q, n が偶数のとき A_n = Q により集合列 {A_n} を定義し, x = √2 とします.
このとき, {A_n} の上極限と下極限を求め, 先の 2 つの等式が成り立つことを確認してください.
補足欄に書いてくだされば, 添削します.

この回答へのお礼

詳しい解説いただきありがとうございました。右辺での関数では、ｘを固定して、上極限、下極限を考えてみると数列とみなせる件、納得できました。
１つ目の等式：左辺はAnの上極限はRということで、定義関数はｘ＝√２で１となり、右辺でも、x＝√２で上極限が１になります。
２つ目の等式：左辺はAnのか極限が空集合ということで、定義関数はｘ＝√２で０となり、右辺でも、ｘ＝√２で下極限が０になります。
やってみて、不思議な感覚です。具体的な例をいただいたおかげさまでだいぶ理解が進んだような気がします。

お礼日時：2017/10/26 22:01

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/25 08:02

>こんな理解でいいのでしょうか？

貴方の言っていることが, 私にはよく伝わってきません.
数列と集合列の両方に関して, 上極限と下極限の定義を再確認してください.
おそらく, 現時点で貴方は定義を知らないか, 定義の意味を理解できていないと思います.
疑問が解決しないようなら, 再度補足質問してください.

この回答へのお礼

何度もすみません。確かに、上極限の理解がまだ不十分なのかもしれません。それ以上に、右辺での関数列の上極限というのも、どうもよく理解できていないという感じです。もう少し基本的なところから勉強してみようかと思っています。ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/25 18:29

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/24 22:32

上極限と下極限, どちらでもいいですが, 任意の x ∈ X に対して, 左辺も右辺も, 可能性としては 0 か 1 のどちらかです.

実際には, 左辺が 0 なら右辺も 0, 左辺が 1 なら右辺も 1, となります.
なにが分からないのですか.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。上極限でいえば、左辺が集合Anの一部が単調減少で収束してイメージですが、右辺は上極限で比較する対象（単調減少するもの）は何かで混乱していましたが、結局、あたりまえといえばあたりまえですが、（各点で）１から０への減少しかないということかなとおもっています。どっちにしろ、等しい関数になっていくことが理解できたような気がします。こんな理解でいいのでしょうか？

お礼日時：2017/10/25 07:15