2x^2+10xy+4y^2-3x-1 の因数分解の答えと、解き方を教えてください┏○ﾍﾟｺｯ

2x^2+10xy+4y^2-3x-1
の因数分解の答えと、解き方を教えてください┏○ﾍﾟｺｯ

質問者からの補足コメント

• すいません4y^2です
  せっかく考えていただいたのに申し訳ないです

    補足日時：2018/03/05 17:45

• 4x^2ですね

    補足日時：2018/03/05 17:45

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/06 21:41

No.2です。

「解き方」をお尋ねだから回答したんです。だから、具体的な係数がいくらであろうと、答がどうであろうと、そりゃどうでも良い話です。
で、No.3さんのも含めて3通りの解法が示されている。それらを自分で実際やってみることが肝心なんですってば。

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/03/05 18:05

No.1です。

4x^2+10xy+4y^2-3x-1
=4x^2+(10y-3)x+4y^2-1
=4x^2+(10y-3)x+(2y-1)(2y+1)

たすき掛け
1……2y-1=8y-4
…×
4……2y+1=2y+1
…………+･10y-3

従って
(x+2y-1)(4x+2y+1)

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/05 17:42

f(x,y) = 2x^2 + 10xy + 4y^2 -3x -1

　これをxの2次式だと思う（そしてyはただの定数だと思う）ことにすると、二次方程式の解法を使って必ず
　　f(x,y) = 2(x - α)(x - β)
という形にできる。（もちろん、yの2次式だと思うんでも良いのですが、ここではxの方で説明します。）
　しかしαやβの中に「yの多項式が平方根に入ったやつ」が残るかもしれない。その場合でも「因数分解できた」と言うのかどうか。これは「この式を因数分解したあとどう使いたいのか」に依ります。

　実際やってみますと、
　　2x^2 + (10y -3)x + (4y^2 - 1) = 0
という方程式を解いて
　　f(x,y) = 2(x - α)(x - β)
　　α, β = (3-10y ±√(68y^2-60y+17))/4
てことですね。平方根の中身が( )^2 の格好にならんので、この平方根は外せません。だから
　　f(x,y) = 2(x + ay + b)(x + cy + d)
という格好にはならない。

　もちろん、αやβが（「yの多項式が平方根に入ったやつ」が現れずに）ともにyの多項式になってくれる場合もある。そこで問題を、「yの多項式が平方根に入ったやつが出てこないような因数分解（すなわちご質問の場合ですと
　　f(x,y) = 2(x + ay + b)(x + cy + d)
ですね。）の格好にできるだろうか？」と捉えた上で、別のやり方でもやってみましょ。

　まず、こういう因数分解が可能であると仮定します。そしてとりあえず
　　x = 0
を代入してみると
　　f(0,y) = 4y^2 -1 = (2y - 1)(2y + 1) = 2(2y - 1)(y + 1/2)
と因数分解できる。これで
　　f(x,y) = 2(x + p(2y - 1))(x+ (1/p)(y + 1/2))
だと決まります。ここにpは0でない未知の定数。（pを入れるのを忘れちゃいけません。）展開してみますと
　　 2(x + p(2y - 1))(x+ (1/p)(y + 1/2))
　　= 2x^2 + 2(2p + 1/p)xy + 4y^2 + (1/p - 2p)x - 1
　x^2, y^2, yの項の係数と定数項は与式の通りになっています。そうなるようにしたんだから当たり前ですが。さて、xyの項とxの項の係数から、pは
　　2(2p + 1/p) = 10
　　1/p - 2p = -3
を両方とも満たさねばならない。
　　q = 1/p
とおいて連立一次方程式
　　2(2p + q) = 10
　　q - 2p = -3
だと思えば、解は
　　p = 2, q = 1
となり、あれあれ、これじゃ
　　q = 1/p
になっていません。
　ってことは、仮定が誤りであって、
　　f(x,y) = 2(x + ay + b)(x + cy + d)
という格好には因数分解できない、とわかったわけです。

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/03/05 15:32

すいません。

4x^2ではないですよね。