素イデアルの判定がわからないです

(1)有理数係数の多項式環Q[x]の単項イデアル(x^2-1)は素イデアルか
(2)有理数係数の多項式環Q[x]の単項イデアル(x^2-2)は素イデアルか
(3)実数係数の多項式環R[x]の単項イデアル(x^2-2)は素イデアルか


(1)が偽で(2)が真、(3)が偽になるそうです。
僕は(1)は真になると思いました。
どうしてこのような答えになるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• (1)と(2)については理解しました。
  (3)が偽となるのはなぜでしょうか？

    補足日時：2019/08/02 22:41

No.2 ベストアンサー 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/08/02 22:36

＞僕は(1)は真になると思いました。

(x^2-1)が　(X-1)(X+1)　に因数分解できるのご存知？

素イデアルは素数の概念の拡張と思えば、
　因数分解できれば素数でない
のは当たり前と思えるのでは

この回答へのお礼

(x^2-2)も実数の範囲でなら因数分解できますね。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/02 22:45

No.1 回答者： 確変 回答日時： 2019/08/02 21:40

多項式 x + 1 と x - 1 の積は (x + 1)(x - 1) と書き,

多項式 x² - 1 で生成される単項イデアルは <x² - 1> と書くことにします.
どちらも丸括弧を使うと, 区別がややこしくなるので.

x + 1, x - 1 ∈ ℚ[x] で, (x + 1)(x - 1) ∈ <x² - 1>
しかし, x + 1 ∉ <x² - 1> かつ x - 1 ∉ <x² - 1>
よって, <x² - 1> は ℚ[x] の素イデアルではありません.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2019/08/02 22:45