Z[√2]の単数群を求め、素元を全て求めよ。 という問題について Z[√2]の単数はすべて±(1+√

Z[√2]の単数群を求め、素元を全て求めよ。
という問題について

Z[√2]の単数はすべて±(1+√2)^nの形になることがわかりました。

では素元はどうなるのでしょうか？証明を含めて教えていただきたいです。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/14 11:07

fを(ノルム)写像

f:Z[√2]→Z
a+b√2∈Z[√2]
f(a+b√2)=|a^2-2b^2|
とすると
c+d√2∈Z[√2]
に対して
f((a+b√2)(c+d√2))
=f(ac+2bd+(ad+bc)√2)
=|(ac+2bd)^2-2(ad+bc)^2|
=|a^2c^2+4b^2d^2-2a^2d^2-2b^2c^2|
=|a^2-2b^2||c^2-2d^2|
=f(a+b√2)f(c+d√2)

f((a+b√2)(c+d√2))=f(a+b√2)f(c+d√2)
a+b√2が単数の時はf(a+b√2)=1

A={p|pは自然数の素数,|a^2-2b^2|=pとなる整数a,bが存在しない}
B={a+b√2;|a^2-2b^2|=pは自然数の素数}
とすると
A∪BはZ[√2]の素元の集合となる
∵-----------------
p∈Aが素元でないと仮定すると
p=(a+b√2)(c+d√2)
(a+b√2)と(c+d√2)は単数でないものがある
p^2=f(p)=f((a+b√2)(c+d√2))=|a^2-2b^2||c^2-2d^2|
|a^2-2b^2|=pとなって矛盾するからpはZ[√2]の素元となる
--------------------
∵-----------------
a+b√2∈Bが素元でないと仮定すると
a+b√2=(x+y√2)(s+t√2)
(x+y√2)と(s+t√2)は単数でないものがある
p=f(a+b√2)=f(x+y√2)f(s+t√2)=|x^2-2y^2||s^2-2t^2|
pが自然数素数である事に矛盾するからa+b√2がZ[√2]の素元となる
------------------
a+b√2をZ[√2]の素元とすると
a-b√2が素元でないと仮定すると
a-b√2=(x+y√2)(s+t√2)
(x+y√2)と(s+t√2)は単数でないものがある
a-b√2=xs+2yt+(xt+ys)√2
a+b√2=xs+2yt-(xt+ys)√2=(x-y√2)(s-t√2)
f(x-y√2)=f(x+y√2)≠1
f(s-t√2)=f(s+t√2)≠1
だから
(x-y√2)と(s-t√2)は単数でない
a+b√2が素元でないから矛盾するから
a-b√2も素元
(a+b√2)(a-b√2)=a^2-2b^2
素因数分解の一意性から
a^2-2b^2は多くとも2つの整数素数に分解される
2つの整数素数に分解される場合それをc,dとすると
(a+b√2)(a-b√2)=a^2-2b^2=cd
a+b√2=±c
a-b√2=±d
b=0となるからaはZ[√2]で素元でZで素数となるから
a+b√2=a∈A
a^2-2b^2が1つの素数となる時は
a+b√2∈B
A∪Bは
Z[√2]の全素元はA∪Bに属するから
A∪BはZ[√2]の全素元の集合となる

A∪B
=
{
√2
3
5
1+2√2
11
13
1+3√2
19
5+√2
29
1+4√2
37
7+2√2
43
7+√2
53
59
61
67
1+6√2
9+2√2
9+√2
83
3+7√2
1+7√2
101
11+3√2
107
109
…
}