大学数学の問題です。 加法群Z/8Zを生成する元をすべて求めよ。 元が分かりません。 よろしくお願い

大学数学の問題です。

加法群Z/8Zを生成する元をすべて求めよ。

元が分かりません。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• どうして互いに素なものが答えになるのでしょうか？
  何度も質問してしまいすみません。

    補足日時：2020/07/18 21:45

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/18 22:47

＞ どうして互いに素なものが答えになるのでしょうか？

自然数 a に対して、数列 A[n] = an を考えてみましょう。
この列に ≡ 0,1,2,3,4,5,6,7 (mod 8) が全て現れれば
a は Z/8Z の生成元であり、現れないものがあれば生成元ではありません。

A[n] には A[n+1] ≡ A[n]・a (mod 8) という二項間漸化式がありますから、
ある i, j (ただし i<j) で A[i] ≡ A[j] (mod 8) だったとすると、
i, j 以降任意の k について A[i+k] ≡ A[j+k] (mod 8) となり
A[n] は周期 j-i を持ちます。
基本周期を m とすると、数列 A[n] には ｍ 種類の値が現れることになります。

a と 8 が互いに素なとき、
ベズーの補題により、ax + 8y = 1 となる整数 x, y が存在し、
その x は mod 8 で一意、y は mod a で一意です。
ax ≡ 1 (mod 8) となる x は mod 8 で一意であり、
A[n] の周期は 8 の倍数だと判ります。
A[n] には 8 種類以上の値、すなわち 0,1,2,3,4,5,6,7 の全てが現れ、
a は Z/8Z を生成します。

a と 8 が互いに素でないとき、
a と 8 の最大公約数を g と置くと、a/g, 8/g は自然数です。
a・(8/g) = (a/g)・8 ≡ 0 ≡ a・0 (mod 8) なので、
A[n] は周期 8/g を持つことになり、 A[n] には 8/g 種類以下の値しか現れません。
a は Z/8Z を生成しないことになります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/18 21:42

1, 3, 5, 7.

{ 0,1,2,3,4,5,6,7 } の中で、
8 と互いに素なものをすべて挙げればいい。