生成元の求め方

Question

代数学において
生成元とはどのようにして求めますか？
Ｚ2の場合とＺ2＋Ｚ2の場合を例に教えてください。 
ご存知の方お願いします。

OurSQL · Accepted Answer

M = Z2 + Z2 = Z2 × Z2 = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) } の部分集合のうち、元の個数が 1 のものは生成系になれませんが、そのことは理解できますよね。

で、M の部分集合のうち、元の個数が 2 であるものを考えます。
それらのうちで (0, 0) を元に持つものは、元の個数が 1 である部分集合と実質的に変わらないので、生成系になれません。
(0, 0) を元に持たなければ、生成系になっていることを確認してみます。

A = { (0, 1), (1, 1) } が生成系であるなら、M の任意の元は (0, 1) と (1, 1) の線形結合として表せるはずです。
実際、
(0, 0) = 0(0, 1) + 0(1, 1)
(0, 1) = 1(0, 1) + 0(1, 1)
(1, 0) = 1(0, 1) + 1(1, 1)
(1, 1) = 0(0, 1) + 1(1, 1)
となりますから、A = { (0, 1), (1, 1) } は確かに M の生成系になっています。
さらに、S ⊂ A を満たす M の部分集合 S で、M の生成系になるものは存在しません（ここで S ⊂ A は、S が A の真部分集合であることを表すとします）。
よって、A は M の極小生成系であることが確認できました。
同じようにして、B = { (0, 1), (1, 0) } と C = { (1, 0), (1, 1) } も M の極小生成系であることを、御自身で確認なさってください。

D = { (0, 0), (0, 1), (1, 1) } や E = { (0, 1), (1, 0), (1, 1) } なども M の生成系ですが、極小生成系にはなっていません。

OurSQL · Answer

No.4 の補足を読みました。
要するに、こういう状況ですね。

Z を有理整数環、Z2 を位数 2 の Z-巡回加群 Z／2Z = { 0, 1 } とする。
Z2 + Z2 で Z2 と Z2 の直和を表すものとし、この Z2 + Z2 は有限個の加群の直和なので、直積 Z2 × Z2 と同一である。
よって、Z2 + Z2 = Z2 × Z2 = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) } である。

で、回答ですが、

群 G が G の部分集合 S で生成されるとき、G = < S > と書き、S を G の生成系、S の各元を生成元といいます。
Z2 の生成系は { 1 } と { 0, 1 } の2つあり、生成元の個数は、それぞれ 1 と 2 です。
Z2 × Z2 の生成系は、けっこうたくさんあります（御自分で、全部を書き出してみてください）が、生成元の個数は 2 か 3 か 4 です。

このようになる理由は、群の生成系はベクトル空間の基底と違い、無駄なものが含まれていても構わないからです。
ベクトル空間の基底に相当する生成系は、極小生成系といいます。
Z2 の極小生成系は { 1 } で、生成元の個数は 1 です。
Z2 × Z2 の極小生成系は { (0, 1), (1, 0) }, { (0, 1), (1, 1) }, { (1, 0), (1, 1) } で、生成元の個数は 2 です。

何か疑問点がありましたら、さらに補足なさってください。

OurSQL · Answer

Z2 + Z2 というのは、もしかしたら Z2 と Z2 の直和のことでしょうか。
もしそうなら、「Z2 + Z2 は、Z2 と Z2 の直和を表します」と付け加えていただくか、「Z2 + Z2 と書きましたが、+ の部分は、正確には + にほぼ外接する円のような記号を伴っています」とでも書き加えてくださっていれば、余計な手間が省けたのですが。

OurSQL · Answer

新年明けまして、おめでとうございます。
その直後にいうのも何ですが、まだ質問の意味に疑問点が残ります。

> また二つ目も、Ｚを環とし、Ｚ2＋Ｚ2をＺ加群とした時の求め方が分かりません
> ＋は×のことで間違いないです
(1) Z は環とありますが、有理整数環 Z と解釈してよろしいですか。
(2) Z2 の定義を、正確に書いていただけませんか。Z2 という表記において、Z の部分は太文字なのか（つまり、有理整数環を表す Z と同じ文字）、それともふつうの太さなのか、どちらでしょう。
(3) Z2 + Z2 の定義ですが、ふつうに加群の和を表しているのでしょうか。最後の行に「＋は×のことで間違いないです」と書かれているのですが、Z2 × Z2 であれば Z2 と Z2 の直積集合を表します。
どちらが正しいのでしょうか。
(4) 生成元の個数というのは、単独で生成元となれる元の数を聞いているのですか。それとも、Z2 と Z2 + Z2（または Z2 × Z2）を生成する部分集合の元の個数を聞いているのか、どちらなのでしょうか。

けっこう質問が多く、それらの中には答えの察しがつくものもありますが、お答えにより回答内容が変わってきますので、どうか情報提供をお願いします。

ur2c · Answer

Z_2 の元は {0, 1} で 1 + 1 = 0 だから Z_2 = <1>

Z_2 + Z_2 の元は
{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} で
(1,0) + (1,0) = (0,0),
(0,1) + (0,1) = (0,0),
(0,1) + (1,0) = (1,1)
だから生成元は 2 つ必要で
Z_2 + Z_2 = <(1,0), (0,1)> = <(0,1), (1,1)> = <(1,0), (1,1)>

生成元の個数は，これらは可換だから可換群の基本定理で定まります。

有限でも非可換だとめんどうです。自由群に関係式を入れて行けば、いずれ欲しい群になるわけですけど。この本が良かったです。

Moser and Coxeter 1966;
Generators and Relations for Discrete Groups
http://www.amazon.com/Generators-Relations-Discr …

OurSQL · Answer

ここでは、Z2 を Z／2Z と同一視して回答します。

> 代数学において
> 生成元とはどのようにして求めますか？
ケースバイケースというか、一概に何ともいえません。
しかし、Z2 = Z／2Z = { 0, 1 } という巡回群の場合でしたら簡単です。
そもそも元が2つしかなく、0 が生成元でないのは明らかですから。
一般に Z／nZ の場合でしたら、n の値にもよりますが、Z／nZ のすべての元について、その位数を調べてみるのがお勧めです（練習問題として利用できます）。
位数が n の元は、生成元となります。
慣れてきたら、生成元を簡単に見つける方法を御自分で考えてみるといいでしょう。

次の Z2 + Z2 = Z／2Z + Z／2Z というのは、どのように定義されているのですか。
もしかしたら、Z／2Z × Z／2Z のことでしょうか。
だとしたら、これは巡回群にはなりません（確かめてください）。
ですから、単独で生成元となれる元はありません。
群 G が G の部分集合 S で生成されるとき、G = < S > と書きます。
S = { s } の場合、G = < { s } > と書いてもいいのですが、ふつうは簡単のために G = < s > と書きます。
G = Z／2Z × Z／2Z の場合、このような s ∈ G は存在しないということです。

生成元の求め方

M = Z2 + Z2 = Z2 × Z2 = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) } の部分集合のうち、元の個数が 1 のものは生成系になれませんが、そのことは理解できますよね。

この回答への補足

No.4 の補足を読みました。

この回答への補足

Z2 + Z2 というのは、もしかしたら Z2 と Z2 の直和のことでしょうか。

この回答への補足

新年明けまして、おめでとうございます。

Z_2 の元は {0, 1} で 1 + 1 = 0 だから Z_2 = <1>

この回答への補足

ここでは、Z2 を Z／2Z と同一視して回答します。

この回答への補足

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