群の生成についての問題

命題

ＳＬ（２、Ｒ）（実特殊線形群）は


Ｔ=　 ( 0 1 ) および　　　{Ｓ(x)= ( 1 x ) ;x∈R}
　 　　(-1 0 )　　　　　　　　　　　(0　１)
　　　
から生成される。

証明

ＴとＳ(x)たちの生成する部分群をＨとし、Ｈ＝ＳＬ（２、Ｒ）を示す。

ＳＬ（２、Ｒ）の任意の元Ａ＝ （a b） を考える。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（c d）　　　　

もしd=0ならｃ=-(b^-1)で

ＴＡ＝　（-b^-1 0）
　　　　 （-a 　 -b ）

もしｄ≠0なら

Ａ＝　（1 bd^-1）*(a-bcd^-1 0) = SL(bd^-1)*(d^-1 0)
　　　 （0　　　1 ）　(　c　　　　　 d )　　　　　　　　 (c　　 d)

したがって、（a　　　0 ）の形の行列がＨに属することを示せばよい。
　　　　　　　　 (x　　a^-1)

まず、

（1　 0）=T^-1*S(-x)*T∈Ｈ
（x 　1）

に注意する。

（a　　　0 ）＝（1　　a-1）*（1　0 ）*（1　　a^-1-1）*（　1　 　0 ） ∈H
（0　　a^-1）　（0　　1　）　（1　1）　（ 0　　　　1 ）　　（-a　　1 ）

(a　　 0　)　＝　(1　　 　0　)　*　(a　　　0 )∈H
(x　　a^-1)　 　(a^-1x　　1)　　　(0　　a^-1)

となるから、ＳＬ（２、Ｒ）の任意の元はＨに属し、Ｈ＝ＳＬ（２、Ｒ）。

この証明でわからない点がふたつほどあります。

ひとつめはなぜd=0　とｄ≠0で場合分けしているのか。

ふたつめは（a　　 0 ）がＨに属していることで、ＳＬ（２、Ｒ）の任意の元はＨに属することになるのか。
　　　　　　　 (x　　a^-1)

詳細のほどよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： metzner 回答日時： 2011/11/12 15:33

SL(2,R)に属するAがT、S(x)達で生成されるとしたら

A = T*...　---(a)
A = S(*)*..---(b)
という形になるはずです。


上の...の部分がHに属していたら、SL(2,R)はT,S(x)達で生成されるといえますね？

一つめは上の...の部分が

| a 0|
| x a^-1|

という形になる事を示すために場合分けしているだけです。

二つめは上の...すなわち

| a 0|
| x a^-1|

がHに属すれば、それにTや S(*)を掛けたものもHに属しますから、(a,b)よりAもHに属します。

回答ではTAを計算していますが、T^2 = -Eに注意すればここの説明で十分です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/11/15 10:28