x,yがx^2+y^2＝3を満たしているとき、xy^2の最大値と最小値を求めよ。また、そのときのx,

x,yがx^2+y^2＝3を満たしているとき、xy^2の最大値と最小値を求めよ。また、そのときのx,yを求めよ。




微分の範囲です。よろしくお願いします

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/30 04:04

x,yがx^2+y^2＝3を満たしているとき、xy^2の最大値と最小値と、そのときのx,yを求めよ。

解法1
x^2+y^2－3=0＿①
z=xy^2＿②
とする。①からy^2を解いて③として、y^2を②に入れると④となる。
y^2=3－x^2＿③
z=xy^2= x(3－x^2) =－x^3+3x＿④
zをxで微分してdz/dx=0とすると、最大最小値を与えるxが出る。
dz/dx=－3x^2+3=0＿⑤
x=±1＿⑤
となる。x=1のとき、y=±√2、z=2最大値。x=－1のとき、y=±√2。、z=－2最小値。
解法2
条件付き最大最小問題の定法としてラグランジュの未定係数法がある。
②－λ①という式を作ってxとyで微分して0と置く。
z=xy^2－λ(x^2+y^2－3)＿⑦
∂z/∂x=y^2－2λx=0＿⑧
∂z/∂x=2xy－2λy=0＿⑨
⑧⑨と①を連立して解く。
⑨からｙ(x－λ)=0
ｙ=0またはx=λ＿⑩
(１) ｙ=0のとき、x=±√3、λ=0、z=0＿⑪
(２) x=λのとき、y^2－2λx= y^2－2λ^2=0、y=±λ√2
x^2+y^2－3=0＿①からλ^2+2λ^2－3=3λ^2－3=0
λ=±1、x=λ=±1、y=±λ√2=±√2、z= xy^2=±2＿⑫
以上より、最大値=2、x=1 、y=±√2のとき
最小値=－2、x=－1 、y=±√2のとき
解法３
x=√3cosθ，y=√3sinθ，t= cosθと置くと
z=3√3(cosθsin²θ) =3√3cosθ(1－cos²θ) =3√3t(1－t²) =3√3 (t－t³)＿⑬
dz/dθ= dz/dt･dt/dθ=3√3 (1－3t²)･(－sinθ) =0＿⑭
⑭よりt=±1/√3またはsinθ=0
(１) t=±1/√3のとき、x=±1、y^2= 3sin²θ= 3(1－t²)=2、y=±√2、z= xy^2=±2＿⑮
(２) sinθ=0のとき、x=±√3、y^2= 0、z=0＿⑯
以上より、最大値=2、x=1 、y=±√2のとき
最小値=－2、x=－1 、y=±√2のとき
No.3の回答の計算は間違っている。

No.3 回答者： runix2007 回答日時： 2018/04/29 14:52

問題は半径ルート3の円

中心から45度の円上の点が最大値である

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2018/04/29 14:51

x,yが原点中心で半径√3の円周上にあるので

x=√3cosθ,y=√3sinθ
と置くことが出来る。
xy^2に代入して変形するとcosθの三次式が得られる。
微分した式を利用して極値を求めれば見通しがつく。

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2018/04/29 14:49

x^2+y^2＝3なので、y^2＝3-x^2

よって最大値、最小値を求めるxy^2=x(3-x^2)
ゆえにf(x)=x(3-x^2)の最大値、最小値を求めればよい。

ただし、xは-√3≦x≦√3の範囲にしか定義されないのを注意する。