(1)の問題についてです。（x-1)(x-3)(x-5)(x-7)＋15の因数分解のやり方を教えてく

(1)の問題についてです。（x-1)(x-3)(x-5)(x-7)＋15の因数分解のやり方を教えてください。解説（写真）の2行目までは理解出来ます。しかし、3行目から理解ができません。とくに22と120がどうしてでくるか分かりません。解説よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 写真が見づらかったので撮り直しました。

  
    補足日時：2018/05/05 16:04

No.4 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/05/05 16:29

(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)＋15

＝(x-1)(x-7)･(x-5)(x-3)＋15　←　前の4つの()を左のように並べ変え、前2つと後ろ2つで展開する。
＝(x^2-8x+7)･(x^2-8x+15)＋15　
＝((x^2-8x)+7)･((x^2-8x)+15)＋15　←　”x^2-8x”を一つの塊(＝tとでも置いて)と考えて展開する。
＝((x^2-8x)^2+22(x^2-8x)+105)+15　←　展開したので()を外す事ができるようになったので、+105+15　を計算
＝(x^2-8x)^2+22(x^2-8x)+120　←　これをたすき掛けで因数分解する
＝((x^2-8x)+12)((x^2-8x)+10)
＝(x^2-8x+12)(x^2-8x+10)　←　前の()を更に因数分解する
＝(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)　←因数分解終了

(x-1)(x-7)･(x-5)(x-3)とならべてみて、-8xと共通になることを利用した計算の簡略化ですね。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/05/05 16:27

xー4=yとすれば

xー1=xー4+3=y+3
xー3=xー4+1=y+1

与式=(y+3)(y+1)(yー1)(y+3)+15
=(y^2ー9)(y^2ー1)+15
=y^4 ー(9+1)y^2 +9+15
=y^4ー10y +24
=(y^2ー4)(y^2ー6)
=(y+2)(yー2)(y^2ー6)
=(xー4+2)(xー4ー2)｛(xー4)^2 ー6 ｝
=(xー2)(xー6)(x^2ー8x+10)

の方が簡単！
1…7の中点は、(1+7)/2=4だから！

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/05 16:14

22=7+15

120=7・15+15=105+15

No.1 回答者： 売られた花嫁 回答日時： 2018/05/05 16:13

この手のタイプは文字で置き換えて簡単な因数分解をしてから文字を戻します。

今回は x^2-8xが共通して作れます。これはもともとの式からわかります。だから、この式たちを見やすくするためにx^2-8x=tとおきます。文字はなんでも構いません。そうすると、t^2+22t+120となります。これを因数分解して(t+10)(t+12)なりますが、tは勝手に置いた文字なので戻します。(x^2-8x+10)(x^2-8x12)になりもう一度因数分解できるか確認してできら分解します。今回はできるので(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)となります。