(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)=4・3・2・1 これを複素数の範囲で解けという問題が出まし

(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)(ｘ－４)=4・3・2・1

これを複素数の範囲で解けという問題が出ました。なにか簡単な解き方があるんでしょうか？

解説お願いします！

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/05/25 21:18

与式の形を見ると、x=5とx=0が解であることがすぐに判る。

とすると、与式を展開・整理したものは、x(x-5)で割り切れて、商はxの2次式になるから、その2次式=0を解の公式で解けばいい。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/05/25 22:00

ｘ＝5が判る理由：

左辺の各因数は、1ずつ小さくなっている。一方、右辺の各因数も1ずつ小さくなっている。
ということは、左辺の因数と右辺の因数のそれぞれに関し、「x-1=4、x-2=3、x-3=2、x-4=1」という対応関係がありそうな気がする（推測される）。
で、x=5とすればその4つの式が全部成立するからOKということが判る。

x=0が判る理由：
左辺の因数のうちの、数字部分を見ると、-1、-2、-3、-4である。
これを掛け算すると、ちょうど、右辺の4･3･2･1と一致する。
で、左辺の因数において、x=0を代入すると、ちょうど、-1、-2、-3、-4の掛け算になる。
だから、x=0が解であることが判る。


見たままなんだけどなぁ。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/05/25 22:03

右辺が4･3･2･1だから、左辺は4･3･2･1、又は(-4)･(-3)･(-2)･(-1)が解の1部だと直ぐに解る。

x=5を代入すると、左辺=4･3･2･1
x=0を代入すると、左辺=(-1)･(-2)･(-3)･(-4)=4･3･2･1

つまり、(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-4･3･2･1=0だから、
この式はx(x-5)で割り切れるという事。

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-4･3･2･1を展開すると
x⁴-10x³+35x²-50x

x(x-5)で割り切れるから、x(x-5)商=x⁴-10x³+35x²-50x=0
と言う形になる

商を計算するとx²-5x+10

∴
元式=x(x-5)(x²-5x+10)=0

x²-5x+10=0より、x=(5±i√15)/2

解は、0,5,(5±i√15)/2の4個

No.6 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2018/05/26 10:26

これは4次方程式ですが、左辺の展開をちょっと工夫するだけで、2次方程式と解くのと同様になります。

工夫せず馬鹿正直に展開してx^4-10x^3+35x^2-50xとしたり、商を計算したりするのは、間違ってはいないにせよ、愚策です。良策は、左辺で順番を変えることです。
すなわち、
(x－1)(x－4)(x－2)(x－3)－24＝0
｛(x^2－5x)＋4｝｛(x^2－5x)＋6｝－24＝0
ここでx^2－5x＝Xとおくと、
(X＋4)(X＋6)－24＝0
X^2＋10X＝0
よって、X＝0, -10
X＝0の場合、x＝0, 5
X＝-10の場合、x^2－5x＝-10
x＝(5±i√15)/2
したがって、もとの方程式の解は、
x＝0, 5, (5±i√15)/2