地球の上空の重力加速度を求める画像の問題を教えてください。高度hにおける重力加速度g*は万有引力＝重

地球の上空の重力加速度を求める画像の問題を教えてください。高度hにおける重力加速度g*は万有引力＝重力のつりあいより
g* = GM / (R+h)^2
これを近似するとg* = g( R/R+2h )となってしまい、選択肢のようにhの一次式の形に変形できず解けません。ちなみに3.が正解です

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/07 20:50

つまりは

　g = GM/R²
のときの
　g - Δg = GM/(R + h)²
の「補正項：Δg」を求めたいわけですよね？

これを変形して
　g - Δg = g(1 - Δg/g) = GM/[R²(1 + h/R)²] = (GM/R²)[ 1/(1 + h/R)² ]　　　①
ですから、
　1/(1 + h/R)² = 1 - ε
と表せればよいですね？
　ε = Δg/g
ということです。

テイラー展開は
　f(a + b) = f(a) + f'(a)*b + [f''(a)/2!]b^2 + [f'''(a)/3!]b^3 + ・・・
ですから
　f(x) = 1/x^2
　a = 1
　b = h/R
とすれば
　f(1 + h/R) = f(1) + f'(1)*(h/R) + [f''(1)/2!](h/R)^2 +・・・
で、(h/R)<<1 なので2次項以下を無視すると
　f(1 + h/R) ≒ f(1) + f'(1)*(h/R)
ここで
　f(1) = 1/1^2 = 1
　f'(x) = -2/x^3
より
　f'(1) = -2
ですから
　f(1 + h/R) ≒ 1 - 2(h/R)

よって
　ε = Δg/g = 2(h/R)　　②
となります。

①は
　g - Δg = (GM/R²)[ 1 - 2(h/R) ]

②より
　Δg = 2(h/R)g
ですから、ここに R=6.4 * 10^6 m, g=9.8 m/s^2　を代入して
　Δg = 2[ h/(6.4 * 10^6) ] * 9.8
　　= 3.0625 * 10^(-6) * h
　　≒ 3.1 * 10^(-6) * h

選択肢のべき乗部分がよく見えませんが「２」かな？
「３」ということはないと思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。自分が行った近似の部分が間違っていました。

お礼日時：2018/06/07 22:31

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/07 20:45

正解は2ですよ。

しかし、ー次近似の変形くらいは基礎だから覚えましょう。

1>>|x|の時
1/(1+x)≒1-x