力学の問題です。(1)しかわかりません。台が動くとよくわからないです。

力学の問題です。(1)しかわかりません。台が動くとよくわからないです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/14 00:48

(1) は基本どおりですから分かりますね。

斜面方向の力は mg*sinθ ですから、斜面方向の加速度を a とすると、運動方程式は
　ma = mg*sinθ
なので
　a = g*sinθ

(2) 台が動くと、その「逃げていく加速度」分だけ「質点に働く斜面下方向の力」が大きくなるのです。電車が発車して加速するとき、身体やつり革が後ろの方に引っ張られる感じがするのと同じです。
　質点にとっては、その「台の加速度」と反対向きの「みかけ上の重力」が働いていると考えるのが一番解きやすいと思います。

　これは言葉で説明しても分かりづらいので、下記のようなサイトを参照しながら考えてください。
http://examist.jp/physics/mechanics/ugokusankaku …

　ただし、(2) に関しては、質点が床に到達する瞬間の質点と台の位置を考えればよいので、「質点と台の重心位置はどちらも同じ」ということから解けます。外力が働かず、質点の重力は質点と台との間の「内力」としてしか作用しないからです。
　ということで、
(a) 質点Ｐが斜面の頂上にあるとき：斜面の左端（下端）を中心とした力のモーメントは
　　台の質量 × 台の重心までの水平距離 + 質点の質量 × L = (台の質量 + 質点の質量) × (台+質点の重心位置までの水平距離）
(b) 質点Ｐが斜面の下端にあるとき：斜面の左端（下端）を中心とした力のモーメントは、質点が中心位置に来るのでモーメントがゼロとなり、
　　台の質量 × 台の重心までの水平距離 = (台の質量 + 質点の質量) × (台+質点の重心位置までの水平距離）
になります。

　三角形の台の重心の水平位置は、台の左端から (2/3)L のところにありますから、台+質点の重心位置を静止しているときの台の左端から Lg の距離とすると
(a) M × (2/3)L + m × L = (M + m) × Lg
　よって
　　Lg = { [(2/3)M + m]/(M + m) }L　　　①

　一方、質点が斜面を落下することにより、台が x だけ動いたとすると、(b) の回転中心は x に移動していることになるので
(b) M × (2/3)L = (M + m) × (Lg - x)
　よって
　　x = Lg - { (2/3)M/(M + m) }L
　これに①を代入して
　　x = { [(2/3)M + m]/(M + m) }L - { (2/3)M/(M + m) }L
　　　= [ m/(M + m) ]L

(3) 台が動くのは、質点からの「台を押す力」で台が動き、その反作用である垂直抗力で質点が動く、ということです。どちらも動いているので、「連立」させて解くことになります。
　台は床に固定した座標系で、「水平方向」、「鉛直方向」に座標軸をとり、質点は斜面上に固定した座標系で、「斜面方向」、「斜面に垂直方向」に座標軸をとると式が簡単になります。
　質点が台を垂直に押す力を N とすると、質点の斜面方向の加速度を a、台の水平方向の加速度を A とします。
　
(a) 質点
・斜面方向：ma = mg*sinθ + M*A*cosθ　　　　　　①
・斜面に垂直方向：N + m*A*sinθ = mg*cosθ　　　　②

(b) 台
・水平方向：M*A = N*sinθ　　　　　　　　　　　③
・鉛直方向：N*cosθ + m*A*sinθ = mg*cosθ　　　④

②より
　　N = mg*cosθ - m*A*sinθ
③に代入して
　　M*A = ( mg*cosθ - m*A*sinθ )*sinθ
　　　　= mg*sinθ*cosθ - m*A*sin^2θ
→　(M + m*sin^2θ)A = mg*sinθ*cosθ
よって
　　A = mg*sinθ*cosθ/(M + m*sin^2θ)　　　⑤


ここからはまったく別の問題になります。

(4) 質点が台から受ける垂直抗力は、質点が台を押す力 mg*cosθ の反作用にプラスして、左に加速する台から押される力 m*α を「斜面方向」と「斜面と垂直方向」に分解してもののうち「斜面と垂直方向」ですから
　N1 = mg*cosθ + m*α/sinθ

(5) これは、問題文の書き方が舌足らずで分かりづらいですが、質点が斜面を落ちないようにするにはどれだけの加速度が必要か、という問題ですね。
　これは左に加速する台から押される力 m*α を「斜面方向」と「斜面と垂直方向」に分解してもののうち「斜面方向」が、質点が斜面を滑り落ちる力、つまり質点に働く重力の斜面方向の成分に等しくなればよいので
　m*α/cosθ = mg*sinθ
従って
　α = g*sinθ*cosθ


ここからまた、全く異なる問題ですね。

(6) 質点に対して斜面方向に働く力は、
・重力の斜面方向成分：mg*sinθ
・摩擦力：垂直抗力が mg*cosθ なので、摩擦力の大きさは μmg*cosθ
斜面上昇中は、いずれも斜面下方向に働くので、その大きさは
　 mg*sinθ + μmg*cosθ

(7) 質点の斜面上方向を正とした加速度を a とすると
　ma = -(mg*sinθ + μmg*cosθ)
よって
　a = -(g*sinθ + μg*cosθ)
初速度を v0 としたときの速度は
　v(t) = v0 - (g*sinθ + μg*cosθ)t　　　　⑥
斜面下からの変位は
　x(t) = v0*t - (1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)t^2　　　⑦

停止するのは⑥で v(T) = 0 となる時刻 T であり
　v(T) = v0 - (g*sinθ + μg*cosθ)T = 0
より
　T = v0/(g*sinθ + μg*cosθ)

この時間の変位は、⑦より
　x(T) = v0^2/(g*sinθ + μg*cosθ) - (1/2)v0^2/(g*sinθ + μg*cosθ)
　　　= (1/2)v0^2/(g*sinθ + μg*cosθ)
頂上まで到達するためには、x(T) ≧ L/cosθ である必要があり
　(1/2)v0^2/(g*sinθ + μg*cosθ) ≧ L/cosθ
より
　v0^2≧ 2L(g*sinθ + μg*cosθ)/cosθ
v0 > 0 であるので
　v0 ≧ √[ 2L(g*sinθ + μg*cosθ)/cosθ ]

よって、v0 の最小値は
　√[ 2L(g*sinθ + μg*cosθ)/cosθ ]


計算違いがあるかもしれません。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2018/06/14 11:14