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三角台・運動の法則・力学力学でわからない問題があります: 滑らかな床の上に質量Mの三角台が静置して

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質問者：BladeofDagger
質問日時：2019/11/03 01:50
回答数：2件

三角台・運動の法則・力学

力学でわからない問題があります:
滑らかな床の上に質量Mの三角台が静置してある。傾斜角がθである三角台の斜面上に、質量mの小物体を乗せて静かに手をはなすと、小物体は斜面上を滑り出し、三角台は床の上を滑り出した。このとき、三角台が床の上を滑る加速度の大きさはα、三角台の斜面に沿って滑る小物体の斜面に対する加速度の大きさはβであった。三角台の斜面とその上にある小物体との間には摩擦がないものとする。
加速度の大きさα、βはそれぞれどのように表されるか？
回答は選択肢で③となっていますが、それはなぜかわかりません。物体それぞれの運動方程式を正しく立てることができないから。

どなたか助けてください
よろしければ、ご解説をもお願いします

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： masterkoto
回答日時：2019/11/03 11:54

先ずは三角台,小物体に働く力を図上で確認（ご自身でどうぞ）

三角台には、重力、（摩擦力は無いから）小物体から斜面を垂直に押される力の2力が働く
三角台が固定されていれば小物体が斜面を小物体が斜面を垂直に押す力は、mgcosθだが
固定されておらず加速度αを持っているので、押す力はmgcosθより小さくなることが予想される
押す力はよく分からないから、とりあいずfと仮定すると
その水平成分は、fsinθ
ゆえにの水平方向の運動方程式は右向きを正として
Mα＝fsinθ…①

次に小物体に意識をうつす
小物体に働く力は重力、斜面からの垂直抗力
作用反作用で小物体に働く垂直抗力はf
また、三角台にいる人の立場から見て小物体の加速度(β）を考えているので
観測者は加速度運動をしている。そこで（実際にはない力だが、）慣性力も考える
観測者は右向きの加速度αで運動しているので、小物体には左向きにmαの慣性力が働いているように感じられる
重力の斜面成分はmgsinθ
慣性力の斜面成分はmαcosθ
従って、小物体の斜面方向（下る向きを正）の運動方程式は
mβ=mgsinθ+mαcosθ
⇔β=gsinθ+αcosθ…②
更に小物体は斜面から離れないから、小物体に働く力の斜面垂直成分は釣り合っている
重力の垂直成分はmgcosθ
慣性力の垂直成分はmαsinθだから力のつり合いの式から
f=mgcosθ-mαsinθ…③

①に③を代入
Mα＝(mgcosθ-mαsinθ)sinθ
(M+msinθsinθ)α=mgcosθsinθ
α=mgcosθsinθ/(M+msin²θ)
②へ代入して
β=gsinθ+cosθmgcosθsinθ/(M+msin²θ)
={gsinθ(M+msin²θ)+cos²θmgsinθ}/(M+msin²θ)
={Mgsinθ+mgsinθ(sin²θ+cos²θ)}/(M+msin²θ)
={Mgsinθ+mgsinθ}/(M+msin²θ)
={(M+m)gsinθ}/(M+msin²θ)