水平で摩擦のない床の上に質量Mの直方体を置き、水平方向時刻t=0から大きさFの一定の力を加え、初速0

水平で摩擦のない床の上に質量Mの直方体を置き、水平方向時刻t=0から大きさFの一定の力を加え、初速0からとか速度運動させる。直方体の上には質量mの小物体が置かれているが(摩擦はある)、小物体も初速0から等加速度運動する。

直方体がL移動した時、小物体は直方体の上をどれだけ滑ったかm、M、g、F、μ、Lで表せ。

これがわかりません。vーtグラフも出来ればお願いします。

質問者からの補足コメント

• 運動方程式は書けます。
  
  M a=F+μn
  0=-Mg+N-n M=mg+n
  
  ma=-μn
  0=n-mg. n=mg
  
  
  加速度A=F+μmg/N
  加速度a=-μg

    補足日時：2020/05/30 01:28

• すいません、先程の運動方程式は間違っていました。
  
  Ma=F-μn
  N=Mg+n=Mg+mg
  
  am=μn
  n=mg
  
  ですねw

    補足日時：2020/05/30 01:49

No.7 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/30 12:47

No.1&2 です。

#4 さんのおっしゃるとおり、小物体に加えられる力が「（最大）静止摩擦力」よりも大きいか小さいかで場合分けしないといけないので、結構めんどうです。

問題では「すべる」のが前提なので、ここでは「小物体に加えられる力は（最大）静止摩擦力よりも大きくてすべり出し、『動摩擦力』で考えればよい」と割り切って回答を書きます。

そうすれば、働く力は下記のようになります。

(1) 小物体に働く力
　・小物体の質量に対する重力（鉛直下向き）：mg
　・直方体からの垂直抗力（鉛直上向き）：n
　・直方体が動くことによる動摩擦力（水平方向でＦの向き）：f

(2) 直方体に働く力
　・上に載せた小物体から押される力（鉛直下向き）：n
　・直方体の質量に対する重力（鉛直下向き）：Mg
　・床からの垂直抗力（鉛直上向き）：N
　・外から加えられた力（水平方向でＦの向き）：F
　・上に載せた小物体の摩擦力の反力：-f

これらを「式」にすれば、鉛直上向き、水平 F の向きを正として
(1) の鉛直方向には運動は変化せず、静止しているの力はつり合っており
　　n = mg
動摩擦力なので、μ を「動摩擦係数」として
　　f = μn = μmg
水平方向の運動方程式は、小物体の加速度を a として
　　ma = f = μmg
→　a = μg　　　①

(2) も鉛直方向には運動は変化せず、静止しているの力はつり合っており
　　N = n + Mg = (M + m)g
水平方向の運動方程式は、直方体の加速度を A として
　　MA = F - f = F - μmg
→　A = (F - μmg)/M　　　②

小物体、直方体とも、①、②の加速度での「等加速度運動」になるので、

(1) 小物体：
　加速度：a = μg　　　①
　速度　：v(t) = μgt　（初速度は 0）　　　③
　変位　：x(t) = (1/2)μgt^2　（床から見た初期位置からの変位。初期位置 = 0）　　　④

(2) 直方体：
　加速度：A = (F - μmg)/M　　　②
　速度　：V(t) = [(F - μmg)/M]t　（初速度は 0）　　　⑤
　変位　：X(t) = (1/2)[(F - μmg)/M]t^2　（床から見た初期位置からの変位。初期位置 = 0）　　　⑥

ということになります。
上の式から「vーtグラフ」は書けますね？　小物体、直方体とも「直線」です。

問題では X(T) = L となるときの x(T) を求めよ、というものなので、⑥から X(T)=L となるときの時刻 T を求め、それを④に代入すればよいのです。
やってみれば
　X(T) = (1/2)[(F - μmg)/M]T^2 = L
より
　T^2 = 2ML/(F - μmg)

どうせ2乗するので、このまま④に代入して
　x(T) = (1/2)μgT^2 = μgML/(F - μmg)

これは「床から見た変位」ですから、直方体との「変位の差」は
　X(T) - x(T) = L - μgML/(F - μmg) = {[F - (M + m)μg]/(F - μmg)}L


＞運動方程式は書けます。
＞
＞すいません、先程の運動方程式は間違っていました。
＞
＞Ma=F-μn
＞N=Mg+n=Mg+mg
＞
＞am=μn
＞n=mg

直方体と小物体の加速度がどちらも「a」ですか？　それでは「すべらない」ということですよ？
両方の加速度を別々に区別して書けば、力の書き出しと運動方程式は合っていると思います。

ただし、#4 さんが書かれているように「（最大）静止摩擦力」（すべり出すまでの摩擦力）と「動摩擦力」とがあるので、力 F の大きさによっては「小物体はすべり出さない」こともあるので、その点も忘れないようにしてください。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/30 09:15

もう一つ訂正

>a-a′はμ＜μ′でF<μ′g(M+m)だから
a-a′はμ＜μ′でF>μ′g(M+m)だから

歳だな...(^-^;

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/30 08:10

ANO4です。

ミス発見
>つまりa′<μgなら、滑らずにa=a′ になるので

つまりa′<μ'gなら、滑らずにa=a′ になるので

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/05/30 08:08

これ、案外めんどくさいですよ。

質問のμを「動摩擦係数」
μ′を「静止摩擦係数」(普通はμ'が動、μが静だけど・・.)
Mの加速度をa、mの加速度をa′とすると

mにかかる力がμ′mg以下
つまりa′<μgなら、滑らずにa=a′ になるので

①(M+m)a=F
②a=a′
この時
③a=F/(M+m)≦μ'g つまり F≦(M+m)μ'gが滑らない条件になります。

よく、③を、後ででてくる④を見てF≦μ′mg としてしまう人がいますが間違いです。注意して下さい。

この場合は勿論 滑り量=0

F>u′g(M+m)なら、運動方程式は
④Ma=F-μmg
⑤ma'=μmg

両者の加速度の差は

a=(F-umg)/M
a-a′=(F-μmg)/M - μg =(F-μg(M+m))/M

a-a′はμ＜μ′でF<μ′g(M+m)だから
a-a'>0 が保証されていることに注意。
a-a′<0なら④、⑤は成立しないので、この確認は重要です。

直方体が距離Lに到達する時刻は
(1/2)at^2=L → t=√(2L/a)
滑り量=(1/2)(a-a')t^2

めんどくさいので、こっから先はご自分でどうぞ。
既に求めたaとa′とtを代入して
ごりごり計算するだけです(^-^;

No.3 回答者： nouble1 回答日時： 2020/05/30 01:26

小物体は、

面応力と、質量と、摩擦係数に、
沿って、

公式通りに　動く。


こう書けば　伝わりますかね？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/30 01:25

No.1 です。

手が滑った。

「そのためには、「直方体に働く力」「小物体に働く力」をすべて書き出せないといけないけれど。」

ですね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/30 01:24

直方体と小物体の、各々の運動方程式が書けますか？

そのためには、「直方体に働く力」「小物体に働く力」をすべてかい出せないといけないけれど。

それができることが前提条件なので、まずそれを書いてみてください。
議論はそれから。