数B 等比数列の和 解答を読んでもわからなかったので教えてください！ 初めから全くわからないです。

数B 等比数列の和
解答を読んでもわからなかったので教えてください！
初めから全くわからないです。

質問者からの補足コメント

• この問題で、第n項といったり、第k項と言ってますが、それぞれ何を表してるんですか？

    補足日時：2018/06/30 11:54

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/30 12:33

この問題で、第n項といったり、第k項と言ってますが、それぞれ何を表してるんですか？

＞本質的には同じものです。
この問題の数列には規則があって
初項：a1=1
2項：a2=１＋５
３項：a3=1+5+9
・
・
・
と続いていきますがとても大変なので全てを書き出すことはできません。
問題文に「初項から第ｎ項まで・・・」
とあるので、この形式で初項から第ｎ項まで書き出してみたいが
整数ｎを用いて
初項：a1=1
2項：a2=１＋５
３項：a3=1+5+9
・
・
・
ｎ項：aｎ=1+5+9+13＋・・・＋●(4づつ大きくなる、ｎこの奇数が存在）
と表すしかないのです。
すると、代表してこの数列の第n項はan=1+5+9+13＋・・・＋●(1から始まり4づつ大きくなる、ｎこの奇数が存在）という事ができます。→これを普通一般項anと呼びます。
もちろんこの数列を代表しているので、ｎの値を具体的に決めればこの数列のすべての項を表すことができます。
例えばn=1ならば
an=a1=1
n=2なら
an=a2=1+5
n=3なら
an=a3=1+5+9
少し飛んでn=６なら
a6=1+5+9+13＋17+21(1から始まり4づつ大きくなる、6この奇数が存在）
といったように、すべての項を網羅しています。

で、このまま文字はｎだけで考えたいところですが、この続きでΣ計算をしなければなりません。
Σ計算の時にはｎとは別の文字が必要になるのでKという文字が登場するのです。
ただ、代表してこの数列の第n項はan=1+5+9+13＋・・・＋●(1から始まり4づつ大きくなる、ｎこの奇数が存在）
という場合と
代表してこの数列の第ｋ項はak=1+5+9+13＋・・・＋●(1から始まり4づつ大きくなる、kこの奇数が存在）
という場合では文字をｎ⇔Kに置き換えた違いしかありません（他は言っていることに意味の違いは一切ありません）

模範解答はΣ計算の便宜上、この数列の一般項（代表）をanではなくakで表すことでスタートしているのです。

No.4 回答者： niratm 回答日時： 2018/06/30 13:27

No2です。

数列のn番目、k番目ということです。

"何番目"という以上の意味は特にありません。

問題文で「n項まで」と書いてしまったので、

1からnまでの間にあるうちの、どれか、を表現するために、
新しくkという番号を使ったということです。

No.2 回答者： niratm 回答日時： 2018/06/30 11:38

公式が駆使されているから、わかりにくいんですかね？

この問題を解くには、以下だけ覚えておけば充分。

n　　　　　　n　　　　　　　　 n
Σ1 = n　　　Σ i = n(n+1)/2　　Σ i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
i=1　　　　 i=1　　　　　　　　i=1


等差数列の和の公式だとかは覚えていなくても構いません。
(結局、↑から導ける話なので)

解等のやり方にこだわる必要はないので、
実際に数字ならべて、↑で書いたΣの式に書き直してみれば、解けると思います。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/30 11:16

a1=１，

a2=１＋５、
a3=１＋５＋９・・・という規則の数列で
この数列の第K項は
ak=１＋５＋９+・・・＋●となる
●は現時点では不明、しかしakにはk個の奇数(1,５,9・・・●）が存在し、その奇数は公差４の等差数列をなしている。

そこで、一旦他のことは棚上げして
k個の奇数(1,５,9・・・●）からなる公差４の等差数列、これを＋の記号で結んだものはどのように表されるか考える
→これは初項１、公差４、項数kの等差数列の和だから、等差数列の和の公式より
１＋５＋９+・・・＋●=(1/2)n{2a1+(n-1)d}
=(1/2)k{2･1+(k-1)･4}
=2K²-k

ここで棚上げしておいた本問題に立ち戻り
１＋５＋９+・・・＋●とは本問の数列の第ｋ項：akの事であったことを思い出す
するとaK=2K²-k(=１＋５＋９+・・・＋●)
これで、この数列の一般項aKが求められた。
ここまでが、この数列の第K項の話。

次がこの数列aKの和の話。
問題ではakで表される数列の初項からｎ項までの和snを求めよと言っている
つまり
sn=(１)+(１＋５)+(１＋５＋９)＋・・・＋(第ｎ項)
この形では大変なので
sn=a1+a2+a3+・・・+an
と表しておく
更にシグマを用いて書きかえると
=Σ[K=1～n]ak
以下aK=2K²-kに置き換えてΣ計算するだけ
すると画像のようになる
以上がこの問題の開放の流れです！＾－＾