A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
静電エネルギーが 3q^2/20επr になることを示してほしいです。
積分区間は0~r、r~∞でやって、 ∫1/2・ε(Q/4πεr^2)^2・4πr^2 drをやりました。球の半径をaとする。
単位体積当たりの電界エネルギ=1/2・εE^2
球外の電界E= Q/4πεr^2
球外の電界エネルギ=∫(a~∞)(1/2・εE^2) 4πr^2 dr
=∫(1/2・ε(Q/4πεr^2)^2) 4πr^2 dr
=(1/2・ε(Q/4πε)^2) 4π∫(a~∞) (1/r^2) dr
=(Q^2/8πε)[-1/r] (a~∞)
=(Q^2/8πε)1/a
=(Q^2)/8πεa
球内の電荷密度は一様と仮定すると,半径r以内の全電荷はQ(r/a)^3となる。
球内の電界E= Q(r/a)^3/4πεr^2
球内の電界エネルギ=∫(0~a)(1/2・εE^2) 4πr^2 dr
=∫(0~a) (1/2・ε(Q(r/a)^3/4πεr^2)^2) 4πr^2 dr
= (1/2・ε(Q(1/a)^3/4πε)^2) 4π∫(0~a) ( (r^3/r^2)^2) r^2 dr
= (Q^2/8πεa^6)∫(0~a) r^4 dr
= (Q^2/8πεa^6)a^5/5
= Q^2/40πεa
全電界エネルギ=(Q^2)/8πεa+ Q^2/40πεa=6Q^2/40πεa
=3Q^2/20πεaとなる。
小文字のqは何を表すのですか?
No.2
- 回答日時:
問題の前提がはっきりと書いていないため答えようがない、といいたいところです。
電荷Qの分布の仕方が明記されていない、rよりも内側での誘電率がわからない、そのため計算できません。
Qはr内で一様分布、rよりも内側での誘電率がε(rよりも外と同じ値)として計算すると係数は3/20になりますからそのような前提なのでしょう。
その場合、rよりも内側での電界の大きさが間違っているのでしょう。Q/(4πεr^2)にはなりません。
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