(3)でn^5-nが5の倍数である時nをmod5で表すとなぜ01234になるのですか。いまn=奇数と

Question

(3)でn^5-nが5の倍数である時nをmod5で表すとなぜ01234になるのですか。いまn=奇数と書いてあるのに。

t_fumiaki · Accepted Answer

奇数を偶数で割ると余りは奇数
偶数を偶数で割ると余りは偶数

nが奇数で、8は偶数だから、nを8で割ると、余りは必ず奇数

だからnをmod8で表して、奇数の1,3,5,7のみで充分。

n=0,1,2,3,4,5,6,7でやっても答は同じになるけど、テキスト解説は労力を省いた模範解答しているだけ。

深く考えずにn=0,1,2,3,4,5,6,7でやればok。（結果は同じになるから・・）

t_fumiaki · Answer

任意の自然数は5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4のいずれかで必ず表せる。
つまり、どんな自然数でも5で割ると、割り切れる、1余る、2余る、3余る、4余る、のどれかに必ずなる。

n²-nについて、nは上の5パターンのいずれかであるから、それぞれについて計算して確認すると、n²-nはnがどんな自然数であっても必ず5の倍数で有る事を計算してるだけ。

・nが5の倍数の時。
n≡0[mod5]だから、n⁵-n≡(0)⁵-0≡0[mod5]：5の倍数

・n=5m+1の時（5で割ると1余る時）
n≡１[mod5]だから、n⁵-n≡(1)⁵-1≡0[mod5]：5の倍数

・n=5m+2の時（5で割ると2余る時）
n≡2[mod5]だから、n⁵-n≡(2)⁵-2≡32-2≡30≡0[mod5]：5の倍数

・n=5m+3の時（5で割ると3余る時）
n≡3[mod5]だから、n⁵-n≡(3)⁵-3≡243-3≡240≡0[mod5]：5の倍数

・n=5m+4の時（5で割ると4余る時）
n≡4[mod5]だから、n⁵-n≡(4)⁵-4≡1024-4≡1020≡0[mod5]：5の倍数

つまり任意の自然数nについてn⁵-nは必ず5の倍数

ってな事を言ってる訳だ・・・・。

t_fumiaki · Answer

No1訂正：n²-nじゃなくてn⁵-nに訂正

任意の自然数は5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4のいずれかで必ず表せる。
つまり、どんな自然数でも5で割ると、割り切れる、1余る、2余る、3余る、4余る、のどれかに必ずなる。

n⁵-nについて、nは上の5パターンのいずれかであるから、それぞれについて計算して確認すると、n⁵-nはnがどんな自然数であっても必ず5の倍数で有る事を計算してるだけ。