青チャート数Ⅲの、エクササイズ133に載っている問題です。
----------------------------------------------------------------
実数全体で定義された関数 y=f(x) が2回微分可能で、常に
f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数F(x)を F(x) = e^x f(x) と定めるとき、F(x)は F''(x) = -F(x) を満たすことを示せ。
(2) F''(x) = -F(x) を満たす関数F(x)は、{F'(x)}^2 + {F(x)}^2 が定数になることを示し、
lim(x→∞)f(x) を求めよ。
----------------------------------------------------------------
最後のf(x)の極限値を求めるところで、解答では、F(x) = e^x f(x) をなんの断りもなく利用しているのですが、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x) を証明する必要はないのでしょうか?(1)で、
F(x) = e^x f(x) ⇒ F''(x) = -F(x) (必要条件?)は示されますが、十分条件(?)の方は示されていないような気がします。十分条件を示さなくていいのは、なぜですか?
A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x)
の f(x) や F(x) はどのように選びましょうか. 少なくとも, f(x) と F(x) をどちらも任意に選んでよいとしたら, 最後の等式が成り立たないことは自明ですよね.
No.2
- 回答日時:
2点ほど確認.
1. 「十分条件(?)」はどうなりますか?
2. (1) は解けますか?
十分条件は、
「f''(x) = -2f'(x) - 2f(x) を満たすとき、F''(x) = -F(x) ⇒ F(x) = e^x f(x) 」
と思います。
(1)は、解けました。F'(x) = e^x{f(x)+f'(x)}、F''(x) = e^x{f(x)+f'(x)}+e^x{f'(x)+f''(x)} = -e^xf(X) = -F(x)
xで微分して、与えられた条件を使えば普通にできたと思います。
どっこかおかしな点があれば、お願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 関数の極値と微分係数の関係について 6 2023/04/23 14:35
- 数学 確率について ①Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<= 2 2022/06/20 18:44
- 数学 f(x) を周期 T >0 の周期関数とするとき ∫(0~x)f(t)dt が周期 T >0の周期関 2 2022/12/13 18:21
- 高校 合成関数の問題です。FG例題128番について 4 2023/07/15 17:31
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 f(x)=2x+∮(0~1)(x+t)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めよ。 3 2022/07/05 22:54
- 数学 高校数学で質問があります。 2 2023/02/13 16:40
- 数学 関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cとする。このとき、y=f(x)は以下の条件を満たしている。 1 2023/02/11 14:40
- 数学 大学数学 解析学 区間[a,b]で有界な関数f(x)が[a,b)で連続であるとき、f(x)は[a,b 2 2022/12/23 04:04
- 数学 問 任意の実数a,bと実数関数f(x)に対して ∮(a→b) |f(x)|dx=0ならばf(x)=0 3 2022/07/17 01:30
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
微分について
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
大学の問題です。
-
(2)でx=1では微分係数が存在...
-
重解と接していることについて...
-
微分の問題
-
連続であることをεδ論法で証明...
-
マクローリン展開の問題です n=...
-
xの多項式f(x)最高次の項の係数...
-
教えていただきたいです! 原点...
-
関数f(x)とg(x)があったとき、...
-
ニュートン法について 初期値
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
急いでます!!
-
対数と極限についてです
-
極限が無理数とか有理数になる
-
微分の公式の導き方
-
x<1の時、e^x <= 1/(1-x) であ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
大学の問題です。
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
イプシロンデルタ論法の定義に...
-
いえる??
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
大学数学 広義積分について
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
「次の関数が全ての点で微分可...
-
関数方程式f(x)=f(2x)の解き方...
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
極限、不連続
-
n次導関数
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
微分可能ならば連続の証明につ...
-
微分について
-
極限を調べるときプラス極限マ...
-
大学への数学(東京出版)に書...
-
数学についてです。 任意の3次...
おすすめ情報