二項定理について

二項定理は1/2乗、1/3乗のときにも成り立ちますか？その場合どのように計算すればよいですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/15 23:45

二項定理は

(X+Y)²=X²+2XY+Y²＿＿①
(X+Y)³=X³+3X²Y+3XY²+Y³＿＿②、などの形を持つ。
これを次の形に書くことができる。
(1+Y/X)²=1+2(Y/X)+(Y/X)²＿＿③
(1+Y/X)³=1+3(Y/X)+3(Y/X)²+(Y/X)³＿＿④
この形を二項級数という。Y/X＝xとし、左辺の指数をαとすると
(1+x)^α=1+αx＋α(α－1)x²/2!＋α(α－1) (α－2)x³/3！+･･･＿＿⑤
が成立する。
αが正の整数の時は、式⑤はx^αの項で終わるが、αが正の整数でないときは、⑤は無限級数になってしまう。そして、この級数は|x|<1でないと収束しない。α=1/2のときは⑥、α=1/3のときは⑦となる。
(1+x)^(1/2)
=1+(1/2) x＋(1/2) ((1/2)－1)x²/2!＋(1/2) ((1/2)－1) ((1/2)－2)x³/3！+･･･
=1+(1/2) x－(1/8) x²＋(1/16) x³+･･･＿＿⑥
(1+x)^(1/3)
=1+(1/3) x＋(1/3) ((1/3)－1)x²/2!＋(1/3) ((1/3)－1) ((1/3)－2)x³/3！+･･･
=1+(1/3) x－(1/9) x²＋(5/81) x³+･･･＿＿⑦
となる。|x|≧1のときに、これらの式を使うと、発散する(デタラメの結果になる)。
⑥にx＝Y/Xを入れると
(1+Y/X)^(1/2)=1+(1/2)(Y/X)－(1/8) (Y/X)²＋(1/16)(Y/X)³+･･･
(X +Y)^(1/2)=X^(1/2){1+(1/2)(Y/X)－(1/8)(Y/X)²＋(1/16)(Y/X)³+･･･}＿＿⑦
となるが、|Y/X|<1であれば、⑦は近似式として成立する。
⑦が、α=1/2のときに、①②の二項定理に替わるものである。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/15 06:03

それを二項級数といいます

https://ja.wikipedia.org/wiki/二項級数
を参照してください