f(x)=1/(1-x^2)のn次導関数を求めよ、という問題についてです。
f(x)=1/(1-x^2)=1/{(1+x)(1-x)}=1/2{1/(1+x)-1/(x-1)}
f'(x)=-1/2{1/(1+x)^2-1/(x-1)^2}
f''(x)=1/(1+x)^3-1/(x-1)^3
f'''(x)=-3{1/(1+x)^4-1/(x-1)^4}
以上の結果より、
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
・・・以上のように解答しました。
結果はバツでした。どうすればよかったのでしょう?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
数学的帰納法を使えばよかったのではないですか?
単に微分をしていって,f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
でしたっていうのはダメだと思います.
No.2
- 回答日時:
No1様が言うように数学的帰納法をつかっておけば
○がもらえたでしょう。
もし、数学的帰納法が必要でないと思われるなら、
むしろこう書かないといけないのです。
f(x)=1/2{1/(1+x)-1/(x-1)}
ゆえに
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
これで○がもらえるかどうかは先生しだいなのですが、
つまり途中の3行はあきらかに蛇足です。
たぶん、そのように記述しても丸はもらえなかったと思います。(丸をくれない先生なんです。笑)
f^n(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^(n+1)-1/(x-1)^(n+1)}
という式は合っているようなので、帰納法で証明します。
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