統計学の質問です。中心極限定理の範囲だと思います。 二項分布に従う確率変数x、pn=x/nをpの不偏

統計学の質問です。中心極限定理の範囲だと思います。
二項分布に従う確率変数x、pn=x/nをpの不偏推定量とする。
この時
lim(n→∞)lim(p→0)P(pn-√pn/n<=p<= pn+√pn/n)=0
を示してほしいです。

<=pn<=のような形の不等式に持ち込むのかなと思ったのですが、どのように計算をするのかもよくわからないので、よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• 問題の原本です。

  
    補足日時：2019/02/26 12:08

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/26 17:07

No.2へのコメントについてです。

　"B(n,p)"という記述が出てきたので、ようやくpが何のことなのかそこそこ確信を持って推察できるようになった（が、B(n,p)の定義が示されていないから質問としてきちんと成立してはいない、ということも指摘しておきます）。

　さて、補足ができんということは、質問者氏にはこの写真の文言の意味が読み取れてないということの証左であり、その状態で「示してほしい」ったってしょうがないでしょう。なので、そこまでの所を詰めておきませう。

● Xは確率変数なので、(pチルダ_n が書けんのでπとでも書くことにして）π = X/n は確率変数である。

● 「πをpの不偏推定量とする」というのは（質問者氏の写し間違いではないことはわかりましたが、）ほぼナンセンス。
(たとえば「正規分布 N(m,σ^2)に従う確率変数Yのサンプルをひとつとったらyだった。そこでyをmの不偏推定量とする」って言われたとすると、そりゃ間違いではないけれども、わざわざ不偏推定量って言うかそれ？　まして、「正規分布 N(m,σ^2)に従う確率変数Yをmの不偏推定量とする」って言われたら、ご乱心ではないかと疑うよ。）
だが、これは本題とは何の関係もないので、無視してよろしい。

● 結局、「nπの確率質量関数がB(n,p)に従う」ということだけわかっていればできる計算をする問題。

ってことですね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/26 10:19

No.1へのコメントについて。

> p_n=x/nがpの不偏推定量です。

その文言は意味をなしていないってば。

この回答へのお礼

すいません、いま補足に原本を貼りました！！

お礼日時：2019/02/26 12:09

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/25 21:08

> 二項分布に従う確率変数x、pn=x/nをpの不偏推定量とする。

ってのは何のことやら謎だなー。

　さておき、lim(p→0)とか言うまでもなく、p=0のときにも二項分布は「勝率0の勝負をn回やってx回勝つ確率」として自明に定義でき、勝手なn>0について（なのでlim(n→∞)とも言うまでもなく）、確率質量関数は x∈N（自然数）について
　　φ(x) = if x=0 then 1 else 0
となる。当然 E[x}=0, Var[x]=0。
　で、pn ってのがもしかして E[x]/n のことだとすれば、
　　P(pn-√pn/n<=p<= pn+√pn/n) = P(0≦0≦0) = 1
いや申し訳ないが、ご要望には添えなかったな。

この回答へのお礼

すいません、nが多いので、少し文字の訂正をします。p_n=x/nがpの不偏推定量です。

lim(n→∞)lim(p→0)P(p_n-√(p_n/n)<=p<= p_n+√(p_n/n))=0
です。

お礼日時：2019/02/25 23:32