K回同期加算すると、雑音が1/Kになる理由

デジタル信号処理の問題やってます。

K回同期加算すると、雑音が1/Kになるようですが、なぜですか？

あと、もう一つお聞きしたいのですが、
SN比って、分散を使うのか、標準偏差を使うのか、どちらなのでしょう？

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yaksa 回答日時： 2004/09/11 03:51

Ｓ／Ｎ比は、エネルギー比で考えることが多いとは思いますが、振幅の比で考えることもありますね。

信号をS(t)、
k回目の測定の雑音をN_k(t)とすると、
K回、同期加算すると、
信号は、K*S(t)、
雑音は、N_1(t)+N_2(t)+…+N_K(t)
になります。

(1) 分散（エネルギー比）で定義したＳ／Ｎ比は、
　信号のエネルギーは、V[K*S(t)] = K^2*V[S(t)]
　雑音のエネルギーは、N_1(t),…,N_K(t)が独立なら ば和の分散は分散の和になるので、
　V[N_1(t)+N_2(t)+…+N_K(t)] = K*V[N(t)]
　で、Ｓ／Ｎ比は同期加算前のK倍になりますね。
(2)標準偏差（振幅比）で定義したＳ／Ｎ比は、同様にして
　信号が、K*σ[S(t)]
　雑音が、√K*σ[N(t)]
なので、Ｓ／Ｎ比は√K倍です。

No.2 回答者： yaksa 回答日時： 2004/09/10 23:26

同期加算については、＃１の方のとおりだと思います。

雑音が信号とは独立なら、信号を同期加算しても、雑音は同期していないので、雑音は打ち消されますね。

Ｓ／Ｎ比は、普通は、信号と雑音のエネルギー比だと思います（振幅比ではなくて）。つまり、分散かと。

この回答への補足

雑音(の分散)が減少するのはなんとなく分かるのですが、なぜ1/Kになるのかが分かりません。
いろんな本を見ましたが、どれも数式での証明がないので。

>Ｓ／Ｎ比は、普通は、信号と雑音のエネルギー比だと思います（振幅比ではなくて）。つまり、分散かと。

いろんなサイトや本の同期加算の説明では、例えばK回加算するとS/Nは√K倍となると書いてあるのですが、それは振幅比のことなんですね。
するとパワーの場合はk倍になるんですね。

補足日時：2004/09/11 01:01

No.1 回答者： morinohito 回答日時： 2004/09/10 22:49

「K回同期加算すると、雑音が1/Kになる...」

信号は同相なのでxKになりますが、雑音は異相だからじゃないですか。雑音はもともと信号に乗っているものではないと言う前提かと...(それが雑音の定義?)