標準化の意味を教えて下さい

（問題）
三つの試験科目の得点について、それらを標準化したものを x1 x2 x3　
それらの平均をY＝（X1 +X2 +X3）/3とする

x1 x2 x3はお互い、無相関の場合
X1とYの相関係数はいくらから

この場合の標準化とは、どのような意味を教えて下さい
また、この場合の共分散と標準偏差の求め方を教えてください

答えはは0.58なのですが、標準化の意味が分からず、つまっています。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/05/06 23:21

「標準化」の意味は文脈によって千差万別ですけれども、ここで言う「標準化」は「平均が0、分散が1になるように変換する」ということでしょうよ。

この変換はしばしば一次式で行われます。すなわち、科目1の得点の平均値をm1、得点の分散をs1とするとき、pさんの得点V1(p)を
　　X1(p) = (v1(p)-m1)/√s1
と変換するんです。けれど、他にもやりようはある。たとえば得点の順位を使ってX1が標準正規分布になるように変換する、ということも行われます。（いわゆる「偏差値」ってやつはこの方法で算出されます。）

　しかし、ご質問の問題の場合には、どんなやりかたであろうとも、「平均が0、分散が1になるように変換する」ということを3教科それぞれについてやった結果がX1, X2, X3である、ということだけが重要なんです。てことは、X1の期待値は0である。なので、X1の分散は(X1^2)の期待値と等しく、それは1である。X2, X3も同様。

　さらに、X1, X2, X3が互いに無相関である、という（現実の試験をまともな意味で「標準化」したって決して起こりえない、という意味でかなり無茶な）仮定が置かれている。この仮定によって、X1X2の期待値も、X2X3の期待値も、X3X1の期待値も、どれも0であると決まる。

　この段階で、試験の成績がドウノコウノという話は、もう完全に忘れていいんです。たとえば「標準化」として
　　X1(p) = 平均0、分散1の乱数
X2, X3も同様。（pさんの得点がいくらであったかは完全に無視）というのでも構わない。だから、「3つの試験科目の得点について」だなんて馬鹿馬鹿しい枕をくっつけるのは実に不適切であり、この出題者が相当アレであるということがわかる。…てのはさておき。

　さて、YはX1, X2, X3を足して3で割ったもの。言い換えれば、それぞれに(1/3)という重みを掛けて合計したものです。
　　Y = (1/3)X1+(1/3)X2+(1/3)X3
なので、
　　Yの期待値 = (1/3)(X1の期待値)+(1/3)(X2の期待値)+(1/3)(X3の期待値) = 0
である。Yの期待値が0だから、
　　Yの分散 = (1/3^2)((X1^2)の期待値)+(1/3^2)((X2^2)の期待値)+(1/3^2)((X3^2)の期待値)
である。そして、X1とYの共分散Cは（X1, Yともに期待値が0なので）
　　C =(X1Y)の期待値
　　　=((X1)((1/3)(X1)+(1/3)(X2)+(1/3)(X3))の期待値
　　　=(1/3) ((X1^2) + X1X2 + X3X1)の期待値
　　　=(1/3) ((X1^2)の期待値 + X1X2の期待値 + X3X1の期待値)
ですね。

この回答へのお礼

詳しく背景まで、ご回答いただきありがとうございます。
この出題者が相当アレって所が少し気になりますが・・・

お礼日時：2020/05/09 11:42

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/06 23:08

受験者 p の科目 k (k=1,2,3) の得点が Ak(p) である場合に、

p の総数を N、 Ak の平均を μk、 標準偏差を σk と置いて
μk = { Σ[pについて] Ak(p) }/N,
σk = √{ Σ[pについて] (Ak(p) - μk)²/N },
Xk(p) = (Ak(p) - μk)/σk と定義した... ということでしょう。
標準化の「標準」は、いわば「標準正規分布」の「標準」です。

これにより、Xk の平均は 1, 標準偏差は 1 になります。
科目間の試験の難易度の差に影響されずにデータを扱うために、
このように調整するのでしょう。

この回答へのお礼

有難うございます。
いがいとシンプルでしたね・・・助かります。

お礼日時：2020/05/09 11:42