共分散の計算について

度々すいません。

X1,X2,X3を標準化した3つの試験科目の得点として、Y=(X1＋X2＋X3)/3とする。X1とX2の相関係数、X2とX3の相関係数、X1とX3の相関係数がそれぞれ0.5である場合、X1とYの相関係数はいくらか。という問題です。

標準化された確率変数の平均は0、分散は1なので、XiとXjの相関係数は共分散と等しい。
よってCov[X1,X2]=Cov[X1,X3]=Cov[X2,X3]=1/2である、というところまでは理解しました。
相関係数を求めるに辺り、V[Y]に関して、
V(X＋Y)=V(X)＋V(Y)＋2Cov(X,Y)という公式から、
V[(X1＋X2＋X3)/3]が{1＋1＋1＋2×(1/2)＋2×(1/2)＋2×(1/2)}/9になるのかなというのは分かったのですが、
Cov[X1,Y]=Cov[X1,(X1＋X2＋X3)/3]というところまで来て、この値が=(1＋1/2＋1/2)/3になるというステップが分かりません。

多分基本的な知識が抜けていると思うのですが、教えて頂けますでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/09/19 11:42

基本通りに計算すればよいだけです。

なお、X1, X2, X3 は各々 N(0, 1) に従うデータ群とします。

共分散の定義は、X1, X2 の平均を μ1, μ2 として
　Cov(X1, X2) = E[(X1 - μ1) * (X2 - μ2) ]

相関係数の定義は、X1, X2 の標準偏差を σ1, σ2 として
　ρ12 = Cov(X1, X2)/(σ1 * σ2)

です。

X1, X2, X3 は各々 N(0, 1) に従うデータ群なので

　E[X1] = 0, V[X1] = 1 → σ1=1
　E[X2] = 0, V[X2] = 1 → σ2=1
　E[X3] = 0, V[X3] = 1 → σ3=1

ということです。

よって

　ρ12 = Cov(X1, X2) = 0.5　　　①
　ρ23 = Cov(X2, X3) = 0.5　　　②
　ρ31 = Cov(X3, X1) = 0.5　　　③

なので

　Cov(X1, X2) = E[X1 * X2 ] = 0.5　　　④
　Cov(X2, X3) = E[X2 * X3 ] = 0.5　　　⑤
　Cov(X3, X1) = E[X3 * X1 ] = 0.5　　　⑥

ということになります。

ここで、
　Y = (X1 + X2 + X3)/3
なので
　E[Y] = (1/3)E[X1] + (1/3)E[X2] + (1/3)E[X3] = 0

共分散の定義から
　Cov(X1, Y) = E[ (X1 - E[X1]) * (Y - E[Y]) ]
= E[ X1 * (X1 + X2 + X3)/3 ]
= (1/3) * E[ X1^2 + X1*X2 + X1*X3 ]
= (1/3) * { E[X1^2] + E[X1*X2] + E[X1*X3] }　　←④⑥を代入
= (1/3) * (1 + 0.5 + 0.5)　　← E[X1^2] = V[X1] = 1
= 2/3

この回答へのお礼

Cov(X1, Y) = E[ (X1 - E[X1]) * (Y - E[Y]) ]
= E[ X1 * (X1 + X2 + X3)/3 ]
= (1/3) * E[ X1^2 + X1*X2 + X1*X3 ]
= (1/3) * { E[X1^2] + E[X1*X2] + E[X1*X3] }
あたりで引っかかっていました。
わかりやすい解説ありがとうございました！

お礼日時：2017/09/19 12:05