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- 回答日時:
「X1 、X2、X3 は『それぞれ』期待値0、標準偏差1に標準化された確率変数であるとする。
」ということですね?(a) それぞれが独立なので、「分散」を考えれば
V[Y] = V[(X1 + X2 + X3)/3] = V[(1/3)X1] + V[(1/3)X2] + V[(1/3)X3]
= (1/9){V[X1] + V[X2] + V[X3]}
= (1/9){1^2 + 1^2 + 1^2}
= 1/3
従って
σ(Y) = √(V[Y]) = 1/√3
分散に関する性質は、下記などを参照ください。
↓
https://manabitimes.jp/math/910
(b) 相関係数の定義より、X1 と X2 の共分散、X1 と X3 の共分散をそれぞれ Cov(X1, X2), Cov(X1, X3) と書くと、
r12 = Cov(X1, X2)/[σ(X1)*σ(X2)] = Cov(X1, X2) = 1/3
r13 = Cov(X1, X3)/[σ(X1)*σ(X3)] = Cov(X1, X3) = 1/4
共分散の特性から(これも上のリンク先にあります)、
Cov(X1, Y) = E[X1*Y] - E[X1]*E[Y] ①
と書け、①の第1項は
E[X1*Y] = E[X1*(X1 + X2 + X3)/3]
= (1/3)E[X1^2 + X1*X2 + X1*X3]
= (1/3){E[X1^2] + E[X1*X2] + E[X1*X3]}
ここで、上の①の特性式を逆に使えば
E[X1*X2] = Cov(X1, X2) + E[X1]*E[X2] = 1/3 + 0 = 1/3
E[X1*X3] = Cov(X1, X3) + E[X1]*E[X3] = 1/4 + 0 = 1/4
また、分散の公式より(これも上のリンク先にあります)
V[X1] = E[X1^2] - {E[X1]}^2
なので、これを使って
E[X1^2] = V[X1] + {E[X1]}^2 = 1^2 + 0^2 = 1
以上より
E[X1*Y] = (1/3){1 + 1/3 + 1/4} = 19/36
さらに①の第2項は
E[X1]*E[Y] = 0
なので、①は
Cov(X1, Y) = 19/36
従って、X1とYの相関係数は
r = Cov(X1, Y)/[σ(X1)*σ(Y)] = (19/36)/[1*(1/√3)] = (19√3)/36
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