共分散について

確率変数X1,X2,X3,X4があり、独立でないとき
V(X1+X2+X3+X4)＝V(X1)+V(X2)+V(X3)+V(X4)＋２COV(X1,X2)+
　　　　　　　　２COV(X１,X3)＋２COV(X１,X4)＋２COV(X２,X3)
+2COV(X2,X4)+2COV(X3,X4) で
よろしいでしょうか？？共分散の扱いがわかりません。一般に
確率変数Xi（i=１，２、・・・・n)のとき
V(X1+X2+X3+・・・・+Xn)＝どうなるのでしょうか？？

No.1 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/04/25 19:45

＞　V(X1+X2+X3+X4)＝V(X1)+V(X2)+V(X3)+V(X4)＋２COV(X1,X2)+

＞　　　　　　　　　２COV(X１,X3)＋２COV(X１,X4)＋２COV(X２,X3)
+2COV(X2,X4)+2COV(X3,X4) で
＞　よろしいでしょうか？？

Yes

＞　一般に確率変数Xi（i=１，２、・・・・n)のとき
＞　V(X1+X2+X3+・・・・+Xn)＝どうなるのでしょうか？？

ってことは、n=4 の時（上）の式は勘ですか？

基本に戻って、
V(X1 + X2) = V(X1) + V(X2) + 2 Cov(X1,X2)
は
V(X1 + X2)
= E[{X1 + X2 - E(X1 + X2)}^2]
= E[{(X1 - E(X1)) + (X2 - E(X2))}^2]
= E[(X1 - E(X1))^2] + E[(X2 - E(X2))^2] + 2 E[(X1 - E(X1))(X2 - E(X2))]
= V(X1) + V(X2) + 2 Cov(X1,X2)

X1,X2,...Xn が独立であるかどうかは無関係に
E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) +... + E(Xn)
が成立することを思い出して、２変数と同様に、
V(X1+X2+...+Xn)
= E[{(X1 + X2 + ... +Xn) - E(X1 + X2 + ... + Xn)}^2]
= E[{(X1-E(X1)) + (X2-E(X2)) + ... + (Xn-E(Xn))}^2)
...
(Xi-E(Xi))を一まとめで考えて、2乗を展開するだけです。
V(X1+X2+...+Xn) = ΣV(Xi) + 2 ΣΣ(i≠j)Cov(Xi,Xj)

この回答へのお礼

返信ありがとうございます！！
考えかを理解することができました。
また何かありましたらよろしくお願いします。

お礼日時：2008/04/26 09:26