A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
z を固定すると 0 ≦ x+y ≦n-z,
更に y を固定すると 0 ≦ x ≦ n-z-y だから、
求める格子点の数は Σ[z=0..n] Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1.
+1 してあるのは、0 ≦ x ≦ m を満たす整数 x の個数が m+1 だから。
計算すると、
Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1 = Σ[y=0..n-z] (n-z+1) - Σ[y=0..n-z] y
= (n-z+1)(n-z + 1) - (0 + n-z)(n-z + 1)/2 ; Σk の公式を使った
= (1/2){ (n-z)^2 + 3(n-z) + 2 },
Σ[z=0..n] Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1 = Σ[z=0..n] (1/2){ (n-z)^2 + 3(n-z) + 2 }
= Σ[k=0..n] (1/2){ k^2 + 3k + 2 } ; n-z =k で置換した
= (1/2)Σ[k=0..n]k^2 + (3/2)Σ[k=0..n]k + (2/2)Σ[k=0..n]1
= (1/2)(1/6)n(n+1)(2n+1) + (3/2)(1/2)n(n+1) + (2/2)(n+1) ; Σk^2 Σk の公式を使った
= (1/6)(n^3 + 6n^2 + 11n + 6)
= (1/6)(n +1)(n +2)(n + 3).
No.1
- 回答日時:
3つの非負整数がありその和はn以下。
つまり (k+3)‐1=k+2 から 3‐1=2つの選び方「(k+2)C2」に等しい。(0≦k≦n)∴ Σ[k=0~n](k+2)C2
=Σ[k=0~n](k+2)!/(k!・2!)
=(1/2)Σ[k=0~n](k+2)(k+1)
=(1/2)Σ[k=0~n](k^2+3k+2)
=(1/2)Σ[k=0~n]k^2+(3/2)Σ[k=0~n]k+Σ[k=0~n]
=(1/12)・n(n+1)(2n+1)+(3/4)・n(n+1)+(n+1)
=(1/6)・(n+1)(n+2)(n+3)
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