統計学の問題です

統計学の問題です。ご回答よろしくお願いいたします。

X1 、X2、X3　は期待値０、標準偏差１に標準化された確率変数であるとする。
Y = (X1+ X2+ X3)/3　とする時、以下の問いに答えてください。

(a) X1, X2, X3 が独立の時、Yの標準偏差 σ( y) を求めなさい。

(b) X1 と X2 の相関係数が 1/3 、X1 と X3の相関係数が1/4の時、X1とYの相関係数を求めなさい。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/28 17:34

「X1 、X2、X3　は『それぞれ』期待値０、標準偏差１に標準化された確率変数であるとする。

」ということですね？

(a) それぞれが独立なので、「分散」を考えれば
　V[Y] = V[(X1 + X2 + X3)/3] = V[(1/3)X1] + V[(1/3)X2] + V[(1/3)X3]
= (1/9){V[X1] + V[X2] + V[X3]}
= (1/9){1^2 + 1^2 + 1^2}
= 1/3
従って
　σ(Y) = √(V[Y]) = 1/√3

分散に関する性質は、下記などを参照ください。
↓
https://manabitimes.jp/math/910

(b) 相関係数の定義より、X1 と X2 の共分散、X1 と X3 の共分散をそれぞれ Cov(X1, X2), Cov(X1, X3) と書くと、
　r12 = Cov(X1, X2)/[σ(X1)*σ(X2)] = Cov(X1, X2) = 1/3
　r13 = Cov(X1, X3)/[σ(X1)*σ(X3)] = Cov(X1, X3) = 1/4

共分散の特性から（これも上のリンク先にあります）、
　Cov(X1, Y) = E[X1*Y] - E[X1]*E[Y]　　　　①
と書け、①の第1項は
　E[X1*Y] = E[X1*(X1 + X2 + X3)/3]
= (1/3)E[X1^2 + X1*X2 + X1*X3]
= (1/3){E[X1^2] + E[X1*X2] + E[X1*X3]}

ここで、上の①の特性式を逆に使えば
　E[X1*X2] = Cov(X1, X2) + E[X1]*E[X2] = 1/3 + 0 = 1/3
　E[X1*X3] = Cov(X1, X3) + E[X1]*E[X3] = 1/4 + 0 = 1/4
また、分散の公式より（これも上のリンク先にあります）
　V[X1] = E[X1^2] - {E[X1]}^2
なので、これを使って
　E[X1^2] = V[X1] + {E[X1]}^2 = 1^2 + 0^2 = 1
以上より
　E[X1*Y] = (1/3){1 + 1/3 + 1/4} = 19/36

さらに①の第2項は
　E[X1]*E[Y] = 0
なので、①は
　Cov(X1, Y) = 19/36

従って、X1とYの相関係数は
　r = Cov(X1, Y)/[σ(X1)*σ(Y)] = (19/36)/[1*(1/√3)] = (19√3)/36

この回答へのお礼

とてもわかりやすい回答でありがとうございました。
ベストアンサーを選ばせていただきます。

お礼日時：2021/08/02 21:56