統計問題

3つの試験科目の得点について、それぞれ標準化したものをX1、X2、X3、それらの平均をY＝（X1+X2+X3）/３とする。
X1、X2、X3が互いに無相関である場合、X1とYの相関係数はいくらかとあり、答えは「0.6」です。
解説ではE［X1］＝0，V［X1］＝1（i=1,2,3)
となる。各Xiは互いに無相関なので、
Cov［X1,Y］＝Cov［X1,（X1+X2+X3）/3］
　　　　　　＝1/3Cov［X1,X1］・・・❶
　　　　　　＝1/3
V［Y］＝V［（X1+X2+X3）/3］・・・❷
　　　 ＝(1+1+1)/9 ・・・・・・・・❸
=1/3
したがってX1とYの相関係数は・・・
とあるのですが、
❶の2つ目の「X1」が何故X1になるのかわかりません。
また、❷の［　］の中はＹの平均を入れ、「Ｖ」なので分子、分母それぞれ2乗して❸になるのと理解で宜しいでしょうか。
ご教授頂ければ幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/23 01:03

すべて「定義」に基づいて考えればよいだけです。

＞それぞれ標準化したものをX1、X2、X3

この「標準化」は、「平均：0, 標準偏差：1」ということと解釈します。

＞X1、X2、X3が互いに無相関である

ということから
　Cov[X1, X2] = 0 = (1/n)Σ(x1i･x2i)
　Cov[X1, X3] = 0 = (1/n)Σ(x1i･x3i)
です。
また、共分散の定義から
　Cov[X1, X1] = V[X1] = (1/n)Σ(x1i･x1i) = (1/n)Σ(x1i)^2
です。

ここで、上の関係を使えば
　Cov[X1, (X1 + X2 + X3)/3]
= (1/n)Σ{x1i･(x1i + x2i + x3i)/3}
= (1/3)(1/n)Σ{x1i･x1i + x1i･x2i + x1i･x3i)
= (1/3)(1/n){Σ(x1i･x1i) + Σ(x1i･x2i) + Σ(x1i･x3i)}
= (1/3)(1/n){Σ(x1i)^2 + 0 + 0}
= (1/3)Cov[X1, X1]
= (1/3)V[X1]
です。

これが①の回答です。

②は、相互に無相関なら
　V[X1 + X2 + X3] = V[X1] + V[X2] + V[X3]
であり、分散の定義から
　V[aX] = a^2 ･V[X]
であることを使います。
つまり
　V[(X1 + X2 + X3)/3] = V[(1/3)X1] + V[(1/3)X2] + V[(1/3)X3]
= (1/9)V[X1] + (1/9)V[X2] + (1/9)V[X3]
です。
これに V[X1]=1, V[X2]=1, V[X3]=1 を代入すれば②③になります。


＞❷の［　］の中はＹの平均を入れ、「Ｖ」なので分子、分母それぞれ2乗して❸になるのと理解

「Y の平均」とはどういう意味ですか？
「Y の期待値」は「0」になりますよ？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/23 11:32

No.3 です。

問題の最終的な答は、#1 さんが書かれているとおり

X1 と Y の相関係数 = Cov(X1, Y)/[(√V[X1])･(√V[Y])
　　　　　　　　　= (1/3)/[1･√(1/3)]
　　　　　　　　　= 1/√3
　　　　　　　　　= (√3)/3
　　　　　　　　　= 0.57735･･･

です。
「0.6」は、これを「有効数字1桁」に丸めたものですね。

なお、この値は「実際に観測された特定の X1, Y についての値」ではなく、「実際に観測されるいろいろな X1, Y についての期待値」という位置づけになると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。期待値である旨、認識しておきます。

お礼日時：2022/01/23 16:16

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/01/23 00:58

誤差伝搬の公を示しておきます。

求めたいのは分散なので、この式の両辺を2乗したものになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。誤差伝播の勉強も少ししてみます。

お礼日時：2022/01/23 15:46

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/01/23 00:50

答えは0.577だと思いますが、丸めろ、って書いてありましたか？

①
cov(X1,Y)=cov(x1,(X1+X2+X3)/3)=1/3・cov(X1,X1)+1/3・cov(X1,X2)+1/3・cov(X1,X3)
と展開でき、この式のcov(X1,X2)とcov(X1,X3)が無相関なので０だから。

②
相関係数は、cov(X1,Y)/√V(X1)√V(Y)だが、√V(X1)=1で既知。√V(Y)を求める必要がある。
Y=1/3・X1+1/3・X2+1/3・X3
このばらつきは、誤差伝播の式を使って求める。
∂Y/∂X1=1/3、以下同様。
よって、V(Y)＝(∂Y/∂X1・sd(X1))^2+(∂Y/∂X2・sd(X2))^2+(∂Y/∂X3・sd(X3))^2
=1/9・1＋1/9・1＋1/9・1＝3/9

よって、cor(X1,Y)=cov(X1,Y)/√V(X1)√V(Y)＝1/3÷(√1・√1/3)＝√1/3

この回答へのお礼

①は理解できました。
➁の∂は偏微分であることは理解しました。もう少し勉強してみます。
答えの0.577は近似値を選択する問題のため「0.6」になります。

お礼日時：2022/01/23 16:06