統計問題

説明文
あるコインを投げた時、表が出る確率をｐ、裏が出る確率を1-ｐとし、ｐは未知であるとする。
表が出る確率がある特定の値かどうかを検証するために、ｎ回コインを投げ、そのうち表が出た回数の割合を使ってｐを推定する。第ｉ回目のコイン上げの結果、表が出たらＸi＝１，裏が出たらＸi＝0となる確率変数Xi（i＝1，・・・,ｎ）を使ってｐの推定量ｐハットを
ｐハット＝1/ｎΣ i＝1~n Xi
とする。
問題
ｐハットの分散の取りうる最大値はいくらかとの問題で答えは「1/4ｎ」です。
解説
確率変数Ｘiは独立に成功確率ｐのベルヌーイ分布に従うので、その和であるΣ i＝1~n Xiはパラメータ（n,p）の二項分布に従う。パラメータ（n,p）の二項分布の分散はnp（1-ｐ）であるから、
Ｖ［ｐハット］＝1/ｎ＾2Ｖ［Σ i＝1~n Xi］＝（np（1-p））/n^2＝（p（1-ｐ））/ｎとなる。平方完成により、
（p（1-ｐ））/ｎ＝1/ｎ{-（ｐ-1/2）＾2+1/4}となるので、分散の最大値はｐ＝1/2の時、1/4ｎとなる。とあります。
①V［ｐ］の式の右辺、1/ｎ^2が何故ｎ＾2なのかわかりません
➁平方完成後式の右辺、1/ｎ{-（ｐ-1/2）＾2+1/4}はどこから出てくるのか分かりません
③平方完成後式を解いていくとｐ＝2p^2となりますが、ここからｐ＝1/2のとき、1/4ｎまでの導き方がわかりません。
以上、3点ご教授頂けませんでしょうか。
宜しくお願いします・

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/01/28 21:03

＞①V［ｐ］の式の右辺、1/ｎ^2が何故ｎ＾2なのかわかりません

二項分布の変数は「表が出る回数」です。
それを「表が出る比率」にするには、試行数 n で割ります。
つまり
　p^ = [Σ(i＝1~n)Xi]/n
「表が出る回数」の分散は、「実際に出た回数 - 平均回数」の2乗の平均ですから、「比率」の分散にするには「実際に出た回数/n - 平均回数/n」の2乗の平均にしないといけません。
つまりは「n^2」で割ることになります。

＞➁平方完成後式の右辺、1/ｎ{-（ｐ-1/2）＾2+1/4}はどこから出てくるのか分かりません

V[p^] = p(1 - p)/n = -(p^2 - p)/n
　　　= -(p^2 - p + 1/4 - 1/4)/n
　　　= -[(p - 1/2)^2 - 1/4]/n
　　　= [-(p - 1/2)^2 + 1/4]/n　　　①

でしょ？
平方完成をご存じない？

＞③平方完成後式を解いていくとｐ＝2p^2となりますが、ここからｐ＝1/2のとき、1/4ｎまでの導き方がわかりません。

V[p^] の最大値を求める問題で、①は「上に凸」の放物線になるので、頂点で最大になります。
①の頂点は
　p = 1/2
のときで、そのとき V[p^] は
　V[p^] = (1/4)/n = 1/(4n)
ですよ？

数学の「二次関数の最大、最小」を勉強していませんか？

この回答へのお礼

①、➂は理解できました。②の平方完成はネットの解説を複数見てもさっぱりわかりませんでしたが、➂を導き出せば取り敢えず解答できるので良しとします。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/01/29 15:47