説明文
あるコインを投げた時、表が出る確率をp、裏が出る確率を1-pとし、pは未知であるとする。
表が出る確率がある特定の値かどうかを検証するために、n回コインを投げ、そのうち表が出た回数の割合を使ってpを推定する。第i回目のコイン上げの結果、表が出たらXi=1,裏が出たらXi=0となる確率変数Xi(i=1,・・・,n)を使ってpの推定量pハットを
pハット=1/nΣ i=1~n Xi
とする。
問題
pハットの分散の取りうる最大値はいくらかとの問題で答えは「1/4n」です。
解説
確率変数Xiは独立に成功確率pのベルヌーイ分布に従うので、その和であるΣ i=1~n Xiはパラメータ(n,p)の二項分布に従う。パラメータ(n,p)の二項分布の分散はnp(1-p)であるから、
V[pハット]=1/n^2V[Σ i=1~n Xi]=(np(1-p))/n^2=(p(1-p))/nとなる。平方完成により、
(p(1-p))/n=1/n{-(p-1/2)^2+1/4}となるので、分散の最大値はp=1/2の時、1/4nとなる。とあります。
①V[p]の式の右辺、1/n^2が何故n^2なのかわかりません
➁平方完成後式の右辺、1/n{-(p-1/2)^2+1/4}はどこから出てくるのか分かりません
③平方完成後式を解いていくとp=2p^2となりますが、ここからp=1/2のとき、1/4nまでの導き方がわかりません。
以上、3点ご教授頂けませんでしょうか。
宜しくお願いします・
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>①V[p]の式の右辺、1/n^2が何故n^2なのかわかりません
二項分布の変数は「表が出る回数」です。
それを「表が出る比率」にするには、試行数 n で割ります。
つまり
p^ = [Σ(i=1~n)Xi]/n
「表が出る回数」の分散は、「実際に出た回数 - 平均回数」の2乗の平均ですから、「比率」の分散にするには「実際に出た回数/n - 平均回数/n」の2乗の平均にしないといけません。
つまりは「n^2」で割ることになります。
>➁平方完成後式の右辺、1/n{-(p-1/2)^2+1/4}はどこから出てくるのか分かりません
V[p^] = p(1 - p)/n = -(p^2 - p)/n
= -(p^2 - p + 1/4 - 1/4)/n
= -[(p - 1/2)^2 - 1/4]/n
= [-(p - 1/2)^2 + 1/4]/n ①
でしょ?
平方完成をご存じない?
>③平方完成後式を解いていくとp=2p^2となりますが、ここからp=1/2のとき、1/4nまでの導き方がわかりません。
V[p^] の最大値を求める問題で、①は「上に凸」の放物線になるので、頂点で最大になります。
①の頂点は
p = 1/2
のときで、そのとき V[p^] は
V[p^] = (1/4)/n = 1/(4n)
ですよ?
数学の「二次関数の最大、最小」を勉強していませんか?
①、➂は理解できました。②の平方完成はネットの解説を複数見てもさっぱりわかりませんでしたが、➂を導き出せば取り敢えず解答できるので良しとします。
ありがとうございました。
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