No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Sが囲う領域をVとする。
発散定理より、I = ∫∫[S] A・dS = ∫∫∫[V](div A)dxdydz.
A = (xz,yz^2,3z) だから
div A = z + z^2 + 3.
円筒座標 (x,y,z) = (r cos t, r sin t, z) で置換すると、
dxdy = rdrdt,
V = {(r,t,z): 0≦r≦|z|, 0≦t<2π, 0≦z≦2}.
よって、
I = ∫∫∫[0≦r≦|z|,0≦t<2π,0≦z≦2](z + z^2 + 3)rdrdtdz
= {∫[0≦t<2π]dt}∫[0≦z≦2]{∫[0≦r≦|z|]rdr}(z + z^2 + 3)dz
= (2π)∫[0≦z≦2]{(1/2)(z^2)}(z + z^2 + 3)dz
= π∫[0≦z≦2](z^3 + z^4 + 3z^2)dz
= π{(1/4)2^4 + (1/5)2^5 + 2^3}
= (95/2)π.
No.1
- 回答日時:
D={(x, y)|x^2+y^2≦4} としt5え、
∬[D]{(-x^2z-y^2z^2)/√(x^2+y^2)+3z}dxdy
=∬[D]{-x^2+(3-y^2)√(x^2+y^2)}dxdy
=∫[0~2pi]〔∫[0~2]{-(rc)^2+(3-(rs)^2)*r}rdr〕dφ
=(28/5)pi.
ーーーーーーーーーーーーーー
※計算ミスがあるかもしれません。ご自身で確認してください。
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