なぜ tan(θ+dθ)は画像の下の式のように表せるのでしょうか？微分の定義を使ったのでしょうか？で

なぜ tan(θ+dθ)は画像の下の式のように表せるのでしょうか？微分の定義を使ったのでしょうか？できれば画像のように表すまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• なぜ二回微分が出てきたのかわかりません。
  どのような式の展開から二回微分の式が出てきたのでしょうか？

    補足日時：2019/04/04 18:41

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/05 21:49

図も目的も変数の意味も無く、唐突に式を書いても

意味が通じないことを学ぼう。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/06 04:22

なぜ二回微分が出てきたのかわかりません。

>
これは、何も特別なことではない。2回微分したから、2回微分が出たのです。
例を使った説明が必要でしょう。例えば、y=f(x)=ｘ²という関数を一回微分すると、y '=f ′(x)=2x、2回微分すると、y '’=f ′’(x)=2となる。
別にy=g(x)=2Xという関数を考えて、g(x)を一回微分すればy '=g ’(x)=2となる。g(x)を一回微分すれば、y=f(x)の2階微分が出るのは当然です。
質問の式では、tanθ＝dy/dx＿＿①と置いたので、tanθはyの1回微分です。tanθをもう一回微分すれば、yの2回微分が出るのです。
tan(θ+dθ)はtan(θ+dθ)=tanθ+tan '(θ)dθ＿＿②となるが、tan '(θ)はtanθの一回微分で、もとのｙの二回微分です。y=f(x)=ｘ²＿＿③を使って、
tan(θ+dθ)=dy/dx+(d²y/dx²)dxを書いて見ると
tan(θ+dθ)=2x+2dx＿＿④となる。一方、tan '(θ)=sec²θを使うと、
tan(θ+dθ)=tanθ+tan '(θ)dθはtan(θ+dθ)=tanθ+sec²θdθ＿＿⑤となる。
よってtanθ=2x、sec²θdθ=2dx＿＿⑥となる。
y=x²の関数で、x=1のとき、dx=0.05とすると、tanθ=2、sec²θ=1+tan²θ=5から、
2dx=0.1，5dθ≒2dx=0.1＿＿⑦　となる。
正確に言えば、dx→0の極限で式⑦からdθ/dx＝2/5＿＿⑧が成立する。
dxが小さければ近似式として⑧が使える。
dx=0.05とすれば、dθ≒0.02となる。
tanθ=2からθ=arctan(2)=1.1071。
tan(θ+dθ)=tan(1.1071+0.02)=tan(1.1271)=2.1039
式④の tan(θ+dθ)=2x+2dx=2.1と比較すると、誤差は0.0039で近似式としては
成立している。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/04/04 21:09

二回微分だと考えるから混乱する。

f(x+dx)=f(x)+f'(x)dx

これはわかりますか?

これさえわかっていれば質問にある最後の式はf(x)=dy/dxになっただけの式です。