どうやって tan(θ+Δθ) =tanθ+Δθ/cos²θ = tanθ+Δθ(1+tan²θ)

どうやって
tan(θ+Δθ)
=tanθ+Δθ/cos²θ
= tanθ+Δθ(1+tan²θ)
と導けたのでしょうか？
幾何学的に証明できないでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/04 12:14

テイラー展開しただけっしょ。

f(θ)をθでn回微分した関数をf(n)(θ)と書くことにすれば、f(θ)のテイラー展開（f(θ+Δθ)のΔθに関するマクローリン展開）は
　　f(θ+Δθ) = Σ (((Δθ)^n)/n!)f(n)(θ) ただしΣ はn=0〜∞の総和。
なお、0! = 1 です。この右辺をn=1までで打ち切れば（もしそれ以降の項の総和がΔθ→0で0に収束するのなら）
　　f(θ+Δθ) ≒ f(θ) + Δθ f(1)(θ)
で、f(θ)=tan(θ)の場合は
　　f(1)(θ)=df/dθ = 1/(cos(θ))^2
だから、
　　tan(θ+Δθ) ≒ tan(θ) + Δθ/(cos(θ))^2

その幾何学的解釈に関しては　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6465847.html

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/03 15:13

tan(θ+Δθ) = tanθ+Δθ/cos^2 θ = tanθ+Δθ(1+tan^2 θ)

のうち、tan(θ+Δθ) = tanθ+Δθ/cos^2 θ は、本当は
tan(θ+Δθ) ≒ tanθ+Δθ/cos^2 θ であって ＝ ではありません。
≒ を幾何学的に扱うのは、無理なんじゃないかと思います。
≒ だとか ≒ でないとかをどうやって図に表すのか、何かアイデアが
ありますか？ あるいは、Δθと書くのが不正確で本当は
tan(θ+dθ) = tanθ+dθ/cos^2 θ なんだという解釈もあるでしょう。
その場合、dθ を図に書き込む方法が無いので、やはり幾何学では
無理っぽい感じがします。

tanθ+Δθ/cos^2 θ = tanθ+Δθ(1+tan^2 θ) の部分は
要するに 1/cos^2 θ = 1+tan^2 θ なので、
直角三角形の絵を書いて cos, tan を辺長で表してしまえば
すぐに示すことができるでしょう。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/31 08:39

以前ご自身でtanの図を描いてましたよね？

あれで一目瞭然ですよ。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/01/28 20:27

tan(θ+Δθ)=tanθ+Δθ/(cosθ)^2

は近似式なので実際には等号は成立しません
Δθが十分小さい時に
tan(θ+Δθ)≒tanθ+Δθ/(cosθ)^2
と近似できるという事です
平均値の定理から
tan(θ+Δθ)=tanθ+Δθ/{cos(θ+tΔθ)}^2
0<t<1
となるtがあるとはいえます

f(θ)=tanθ
としてこれを微分すると微分の定義から
f'(θ)=lim_{Δθ→0}{tan(θ+Δθ)-tanθ}/Δθ
f'(θ)=(d/dθ)(tanθ)=1/(cosθ)^2
だから
lim_{Δθ→0}{tan(θ+Δθ)-tanθ}/Δθ=1/(cosθ)^2
だから
Δθが0に十分近ければ
{tan(θ+Δθ)-tanθ}/Δθ≒1/(cosθ)^2
↓両辺にΔθをかけると
tan(θ+Δθ)-tanθ≒Δθ/(cosθ)^2
↓両辺にtanθを加えると
tan(θ+Δθ)≒tanθ+Δθ/(cosθ)^2
と近似できる
(近いのであって等しくはないので証明できません)