加法定理とは違い tan(θ+Δθ) =tanθ+Δθ/cos²θ = tanθ+Δθ(1+tan²

加法定理とは違い
tan(θ+Δθ)
=tanθ+Δθ/cos²θ
= tanθ+Δθ(1+tan²θ)となるようなのですが、
なぜこのように展開出来るのでしょうか？
幾何学的に証明して頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/30 22:03

No.4です。

質問にお答えします。
質問1
表題のような問題の場合tanθ⊿θも１に比べて非常に小さくなるように
⊿θを選んでいると考えるのです。したがって
tan²θ(⊿θ)²＝（tanθ⊿θ)²はtanθ⊿θよりもさらに１に対して小さくなるので
⊿θの１次近似を考える場合これを無視できます。
質問2
1/(1-tanθ・Δθ)＝1＋tanθ・Δθ　がなりたつなら
この両辺に同じ(tanθ＋⊿θ)をかけても
等号は成り立ちます。
(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)＝(tanθ+Δθ)(1＋tanθ・Δθ)
になるのはそのためです。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/30 22:07

ごめんなさい。

No.6の回答はNo.3の回答の後にある質問に対するものです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/30 18:22

>はテイラー展開ですか？

いいえ、分母がー次近似で1になるように、
つまり分母のaのー次項を消すように
分母と分子に同じ数を掛けただけ。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/28 18:53

>(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)からどうやって

>≒(tanθ+Δθ)(1+tanθ・Δθ)になったのでしょうか

一次近似の公式にこんなのが有ります。

|a|<<1 の場合、1/(1-a)≒1+a
1/(1-a)=(1+a)/{(1-a)(1+a)}=(1+a)/(1-a^2)≒1+a

凄くよく使うし、もうちょっと便利に一般化出来ます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、
|a|<<1 の場合、1/(1-a)≒1+a
1/(1-a)=(1+a)/{(1-a)(1+a)}=(1+a)/(1-a^2)≒1+a
はテイラー展開ですか？

お礼日時：2019/01/30 15:08

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/28 18:05

tan(θ+Δθ)=tanθ+Δθ/cos²θ　というのは|⊿θ|が1にくらべて非常に小さいときに

⊿θの1次の項まで取ってつくった1次近似式です
だから⊿θが普通の大きさの場合は成立ちません。
で|⊿θ|が1にくらべて非常に小さいときにはtan⊿θ＝⊿θと1次近似でき
tan(θ+Δθ)=(tanθ+tanΔθ)/(1-tanθtanΔθ)＝(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)
ここで
(1-tanθ・Δθ)(1＋tanθ・Δθ)＝1-tan²θ・(Δθ)²となるが
今は1次近似を求めたいので(Δθ)²の項を省略して
(1-tanθ・Δθ)(1＋tanθ・Δθ)＝1となり
1/(1-tanθ・Δθ)＝1＋tanθ・Δθ　が出てきます。これから
(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)＝(tanθ+Δθ)(1＋tanθ・Δθ)
＝tanθ+(1＋tan²θ)Δθ＋tanθ(Δθ)²
ここでさらに(Δθ)²の項を省略して
＝tanθ+(1＋tan²θ)Δθ＝tanθ+Δθ/cos²θ　になります。

この回答へのお礼

質問があります。
質問1
(1-tanθ・Δθ)(1＋tanθ・Δθ)＝1-tan²θ・(Δθ)²に関して、(Δθ)²が消えるのはわかるのですが、なぜtan²θまで消えるのでしょうか？そんなに小さな値ではないように思えます。
質問2
(1-tanθ・Δθ)(1＋tanθ・Δθ)＝1となり
1/(1-tanθ・Δθ)＝1＋tanθ・Δθ　が出てきます。これから
(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)＝(tanθ+Δθ)(1＋tanθ・Δθ)となるようですが、どうやって
(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)から(tanθ+Δθ)(1＋tanθ・Δθ)になったのでしょうか？分母がどのように変化したかわかりません。
どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2019/01/30 11:08

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/28 10:14

幾何学的は面倒そうなので、加法定理とー次近似で簡単に。

tan(θ+Δθ)=(tanθ+tanΔθ)/(1-tanθtanΔθ)≒(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)
≒(tanθ+Δθ)(1+tanθ・Δθ)≒tanθ+Δθ+(tanθ)^2・Δθ=tanθ+Δθ/(cosθ)^2

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。あのわからないところがあるのですが、

幾何学的は面倒そうなので、加法定理とー次近似で簡単に。

(tanθ+Δθ)/(1-tanθ・Δθ)からどうやって
≒(tanθ+Δθ)(1+tanθ・Δθ)になったのでしょうか？どのようにして分母が変わったのかわかりません。有理化ですか？

お礼日時：2019/01/28 12:27

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/28 09:36

Δθ << θ

の条件を置くということです。その場合には、Δθ の高次項は
　(Δθ)^2 ≒ 0, (Δθ)^3 ≒ 0, ・・・
とみなして近似できます。

その条件で tan(θ+Δθ) をテイラー展開すればよいです。