集合Ｕとその部分集合A、Bに、対して、n(Ｕ)=100、n(A)=60、n(B)=48とする。 (１

集合Ｕとその部分集合A、Bに、対して、n(Ｕ)=100、n(A)=60、n(B)=48とする。

(１)n(A∩B)の最大値と最小値を求めよ。
という問題なのですが、理解力無さすぎて。写真の解答が全く理解できなく。。
とりあえずどなたか1番最初のA∪B=Ｕのときが最小になる意味を教えていただきたいです。（ ; ; ）

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/05 14:00

n(Ｕ)=100、n(A)=60、n(B)=48は

全体集合Uに属するものの個数が100個、「Uの1部分であるA」に属するものが60こ　「Uの1部分であるB」に属する要素が48個　という事ですね！
従って　AとBの共通部分が全くない場合　（AとBを重ねずに）ベン図を書いてみてください。
するとA部分の要素の個数６０とB部分の要素の個数48の和108個（以上）がUの中に含まれていることになってしまい
n(U)=100を超えてしまいます。これは矛盾という事で、AとBには共通部分があることになります。
となると、次に問題になるのが共通部分A∩Bに含まれる要素がどれくらいあるかという事
n(A∩B)=1だと共通部分が１こだから
A∩Bを除くA部分に含まれるものは60-1=59個
A∩Bを除くB部分に含まれるものは48-1=47個
従って　これらを合わせると 1+59+47=107個で　まだn(U)=100を超えてしまい矛盾です。
このように、n(A∩B)を１こづつ増やしていって矛盾が無くなる範囲を調べれば良いのですが、１つ１つやっていくのではセンスもないし大変です。
そこでベン図を見ながら得られる式、n(U)=n(A∩B)+(A∩Bを除くA部分)+(A∩Bを除くB部分)+(A,B以外の部分）…①
の利用です。
(A∩Bを除くA部分)=n(A)-n(A∩B)
(A∩Bを除くB部分)=n(B)-n(A∩B)ですから、①は
n(U)=n(A∩B)+{n(A)-n(A∩B)}+{n(B)-n(A∩B)}+(A,B以外の部分）=n(A)+n(B)-n(A∩B)+(A,B以外の部分）と書き換えられます。
移項して
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(U)+(A,B以外の部分）となるので
n(Ｕ)=100、n(A)=60、n(B)=48を当てはめれば
n(A∩B)=60+48-100+(A,B以外の部分）=8+(A,B以外の部分）…②
従って、(A,B以外の部分）は全くないとき②は最小となることが分かります。
つまりn(A∩B)=60+48-100+0=8・・・最小

また、「AB以外の部分の個数」の範囲について調べれば②から最大値も分かります。
「A,B共通部分」が多くなればなるほど、「A∪Bの部分」は少なくなりますよね
そして、BがAの中に完全に入ってしまう（B⊂A)とき
すなわちA∪B＝Aのとき、「A∪Bの部分」は最小⇔(A,B以外の部分）が最大となります
(A,B以外の部分）が最大なら②も最大になりますが
このとき、(A,B以外の部分）=n(U)-n(A∪B)=n(U)-n(A)=100-60=40だから
②はn(A∩B)=60+48-100+40=48・・・最大
となります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/05 03:03

n(U) ≧ n(A∪B),

n(A∪B) = n(A∩補B) + n(A∩B) + n((補A)∩B),
n(A∩補B) = n(A) - n(A∩B),
n((補A)∩B) = n(B) - n(A∩B)
が、いつでも成り立ちます。
ベン図を眺めて、上の式が成立することを確認してください。

その結果 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) となるので、
n(A∪B) が大きいほど n(A∩B) は小さいことになります。
n(A), n(B) は定数でしたからね。

n(A∪B) の最大値は、一番上の式から n(U) なので、
n(A∩B) の最小値は A∪B = U のときです。