RLC直列回路に電流i=Imsin(ωt+θ)が流れたとしたら全電圧降下Eはどうなりますか？

RLC直列回路に電流i=Imsin(ωt+θ)が流れたとしたら全電圧降下Eはどうなりますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/23 14:09

#3補足

＃３は高校生向き

電気工学を履修する人なら
複素表示を用いて
インピーダンス
・Z＝R+j(wL-1/wc)＝√{R²+(wL-1/wc)²}e^jφ
ただし、φ＝tan⁻¹｛(wL-1/wc)/R｝

・E＝（・Z)（・I)＝{√{R²+(wL-1/wc)²}e^jφ}｛(Im/√2)e＾jθ｝
={√{R²+(wL-1/wc)²}(Im/√2)e^j(θ+φ)
従って実効値は
E=|・E|＝(Im/√2){√{R²+(wL-1/wc)²}
また、
Em=Im{√{R²+(wL-1/wc)²}
瞬時値は
e=Im{√{R²+(wL-1/wc)²}sin(wt+θ+φ) 　φ＝tan⁻¹｛(wL-1/wc)/R｝・・前掲
となります。
（ｗはオメガ）

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/05/23 13:18

回路のインピーダンスは大きさ

√{Ｒ²＋(ωＬ－1/ωＣ)²}で位相は
全電圧降下が電流より、tanα＝(ωＬ－1/ωＣ)/R　となるような角α
だけ進むから、
E=Emsin(ωt+θ＋α）になる。
ただしEm＝Im√{Ｒ²＋(ωＬ－1/ωＣ)²}、α＝arctan{(ωＬ－1/ωＣ)/R}

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/23 12:12

＃２追加

御免、更に整理すべきですね
｛｝内を合成して
（参考：三角関数の合成:asinθ＋ｂcosθ=√(a²＋ｂ²)sin(θ+α), tanα=b/a）
e=Im{Rsin(ωt+θ)+(ωL-1/ωc)cos(ωt+θ)}
=Im√{R²＋(ωL-1/ωc)²}sin(ωt+θ+B) ただし、tanB=(ωL-1/ωc)/R

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/23 12:03

基本的な考え方、

直列回路なので、R,L、Cいずれも流れる電流の瞬時値はImsin(ωt+θ)
Rにかかる電圧の瞬時値は　RImsin(ωt+θ)　←←←Rでは電圧と電流の位相差なし
Lにかかる電圧の瞬時値は　ωLImsin(ωt+θ＋π/2) ←←←　Lでは電圧は電流よりπ/2位相が進んでいる
C　にかかる電圧の瞬時値は　(1/ωc)Imsin(ωt+θ-π/2)←←←Cでは電圧は電流よりπ/2位相が遅れている
よってEの瞬時値eは
e=RImsin(ωt+θ)+ωLImsin(ωt+θ＋π/2)+(1/ωc)Imsin(ωt+θ-π/2)
後はsin(A＋π/2)=cosA,sin(A-π/2)=-cosAの公式(加法定理)を使って整理するだけ（ただしA=ωt+θ）
整理した結果は
Im{Rsin(ωt+θ)+(ωL-1/ωc)cos(ωt+θ)}
（暗算でやったので、ミスがあればご自分で直しておいてください）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/23 11:36

抵抗では「比例」　Vr = R * i

コイルでは「微分」　VL = L * di/dt
コンデンサでは「積分」　Vc = (1/C) * ∫idt
になるので、全電圧降下は

　E = Vr + VL + Vc = R*i + L*di/dt + (1/C)*∫idt

になります。理論上では。

i = Im*sin(ωt+θ)
の場合には
　di/dt = Im*ω*cos(ωt+θ)
コンデンサーは「初期電荷がゼロ」という条件で
　∫idt = -Im*(1/ω)*cos(ωt+θ)
なので
　E = R*Im*sin(ωt+θ) + L*ω*Im*cos(ωt+θ) - [1/(C*ω)]*Im*cos(ωt+θ)
　　= R*Im*sin(ωt+θ) + L*ω*Im*sin(ωt+θ+パイ/2) + [1/(C*ω)]*Im*sin(ωt+θ-パイ/2)
となります。

これでは「なんのこっちゃ」なので、共通の「ωt+θ」を省略して、「位相：0, +パイ/2, -パイ/2」を複素数として表記する「フェーザ表記」を使うのが便利です。