物理についてです。写真の問題の特殊解の求め方を教えてください。

Question

物理についてです。

写真の問題の特殊解の求め方を教えてください。

endlessriver · Accepted Answer

#2より特殊解は、x=(2m/a)²F=F/γ²　（今回は、特殊解の形式が容易に想像できるので#4
のように直接、定数として求めたほうが簡単）
斉次式 mx''+ax'+kx=0 は、条件　a/(2m)=γ=ω₀=√(k/m) から、(D+γ)²x=0 となるので、
一般解は公式から
x=(A+Bt)exp(-γt)
となる。

したがって、非斉次式の一般解は
x=(A+Bt)exp(-γt)+F/γ²

x(0)=0 から、0=A+F/γ² → A=-F/γ²
v=x'=Bexp(-γt)+(A+Bt)(-γ)exp(-γt) なので
v(0)=x'(0)=0 から、0=B-Aγ → B=Aγ=-F/γ

ゆえに
x=(-F/γ²-(F/γ)t)exp(-γt)+F/γ²=(F/γ²){1-(1-γt)exp(-γt)}

syotao · Answer

あなたのあげた方程式
ｍｘ’’＝－kｘ－αｘ’＋F　の両辺をｍでわってγ＝ω₀を使えば
ｘ’’＋2γｘ’＋γ²ｘ＝F/ｍ　･･･①
が出てきます。
それで①の同次式
ｘ’’＋2γｘ’＋γ²ｘ＝0　･･･②の一般解を求めることが問題になるが
②の特性方程式　λ²＋2γλ＋γ²＝0　からは重解λ＝－γ　しか出てこず
ｘ＝e^(－γt)　が②の特殊解であることはわかっても
Cを定数としてｘ＝Ce^(－γt)を②の一般解とはできないわけです。

それで②の一般解を求めるには
ｘを②の解として
ｘ＝ｚe^(－γt)　･･･③　と定義したｚがどうなるかを調べます。
③からｚ＝e^(γt)ｘ　で、この両辺を２回微分すれば
ｚ’’＝e^(－γt){ｘ’’＋2γｘ’＋γ²ｘ}　となり右辺の中かっこは②より0だから
ｚ’’＝0　これからｚ＝A＋Bt　が出て③より
ｘ＝(A＋Bt)e^(－γt)
が②の一般解になるわけです。

あとは①の特殊解がｘ＝F/(ｍγ²)は簡単に出るので
これと今出した②の一般解の和を①の一般解とするわけです。

yhr2 · Answer

No.5です。ついでに初期条件まで適用すれば
t=0 のとき
　x(0) = F/γ^2 + C1 = 0
より
　C1 = -F/γ^2 = -F/(ω0)^2

dx/dt = -γ(C1 + C2*t)e^(-γt) + C2*e^(-γt) = ( -C1*γ + C2 - C2*γ*t )e^(-γt) 
より
dx/dt(t=0) = -C1*γ + C2 = F/γ + C2 = 0
よって
　C2 = -F/γ

これより
　x = F/γ^2 - [F/γ^2 + (F/γ)t]e^(-γt)
　　= (F/γ^2)[ 1 - (1 + γt)e^(-γt) ]
かな？

yhr2 · Answer

No.4 です。「補足２」の画像は、「同次」方程式の一般解を求めるものですか？

だったら、与条件から
　γ = ω0
なので、特性方程式は「重解」を持つことになります。
　λ = -γ (= -ω0)
従って、「同次」方程式の一般解は
　x = (C1 + C2*t)e^(-γt) = (C1 + C2*t)e^[-(ω0)t]

これに「非同次」の特殊解を加えれば、「非同次」の一般解は
　x = Fm/k + (C1 + C2*t)e^(-γt)
　　= F/(ω0)^2 + (C1 + C2*t)e^[-(ω0)t]
　　= F/γ^2 + (C1 + C2*t)e^(-γt)

ちなみに、#4 で求めた特殊解は
　x = Fm/k = F/(ω0)^2 = F/γ^2 = F/(α/2m)^2 = F*(2m/α)^2
で、#2 さんの求めたものと同じです。

yhr2 · Answer

No.1です。ああ、#1 の「一般解」「特殊解」の意味が違っていましたね。

「２階線形非同時微分方程式」の解き方が理解できていませんか？
だったらきちんとテキストなり参考書をを読んで勉強してください。

与微分方程式は
　d²x/dt² + (α/m)dx/dt + (k/m)x = F　　　①
です。
この「特殊解」を１個でよいから見つければよいので、右辺が定数であることから
　x = A （定数）
と仮定すると
　d²x/dt² = 0
　dx/dt = 0
より、①は
　(k/m)A = F
となり、k≠0 なので
　A = Fm/k
と定まります。

あとは、①を「同次」とした微分方程式 
　d²x/dt² + (α/m)dx/dt + (k/m)x = 0
の一般解はもとめられますね？

上記「非同時」の特殊解と、「同時」の一般解とから、「非同時」の一般解は求められますね？

endlessriver · Answer

同次式　mx''+ax'+kx=0 の一般解と、#2の非同次式の特殊解の和が
非同次式　mx''+ax'+kx=F  の一般解になります。

endlessriver · Answer

「'」を時間微分とする。運動方程式は
mx''=-kx-ax'+F
mx''+ax'+kx=F
補助方程式は
mD²+aD+k=0 → D={-a±√(a²-4mk)}/(2m)

条件　a/(2m)=γ=ω₀=√(k/m) から、上の補助方程式の根は D=-a/(2m)
となり、補助方程式は (D+a/(2m))²=0

したがって、特殊解は微分演算子法を使って（F=定数）
x={1/(D+a/(2m))²}F=(2m/a)²{1/(1+(2m/a)D)²}F
=(2m/a)²{1-(2m/a)D+・・・}²F=(2m/a)²{1-(4m/a)D+・・・}F
=(2m/a)²{F+0}=(2m/a)²F

1/(1+(2m/a)D)を級数展開して、2乗した。D以上の定数微分は0なので略している。

yhr2 · Answer

①微分方程式を作り、
②「線形常微分方程式の解法」からまず「一般解」を求め、
③それに初期条件を適用して「特殊解」を求めてください。

そのどこが分からないのかを書いてください。
できたところまでも書いてみてください。

物理についてです。 写真の問題の特殊解の求め方を教えてください。

#2より特殊解は、x=(2m/a)²F=F/γ² （今回は、特殊解の形式が容易に想像できるので#4

あなたのあげた方程式

No.5です。

No.4 です。

No.1です。

同次式 mx''+ax'+kx=0 の一般解と、#2の非同次式の特殊解の和が

「'」を時間微分とする。

①微分方程式を作り、

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