物理学 等速円運動の加速度について

物理学・等速円運動の加速度についての質問です。

添付した画像に示した式の一番右の部分の
-r(dθ/ft)Λ2(cosθ,sinθ)
がどこから生じたのか全くわかりません
上記のベクトルvをtで微分すれば
rdΛ2θ/dtΛ2(-sinθ,cos
θ)になると思うのですが

-r(dθ/ft)Λ2(cosθ,sinθ)は
符号がマイナスでベクトル成分のsincosが逆→微分されている？
他のページにベクトルvについての式は見当たりませんし
関数の積の微分だとしても符号がおかしい?
何がなんだかわかりません。

質問者からの補足コメント

• 画像がみづらくて申し訳ありません
  丸善出版の物理学1の45ページになりますので
  もしお持ちでしたらそちらを参照いただければと思います。

    補足日時：2018/11/06 12:18

• ありがとうございます。
  たしかに合成関数の積分として計算すれば一致しいます。
  そうすると(-sinθ,cosθ)は関数ということになります
  
  x成分とy成分はたしかに引数θの関数ですが
  成分を()で示したものを関数として扱ってよいのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/11/06 13:05

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/06 12:44

x成分だけやってみると

vx=-r(dθ/dt)sinθ
は良いですよね。これをtで微分すると、積の微分と「合成関数の微分」から
dvx/dt=-r(d(dθ/dt)dt)sinθ-r(dθ/dt)(d sinθ/dt)
=-r(d^2θ/dt^2)sinθ-r(dθ/dt)cosθ(dθ/dt)
=-r(d^2θ/dt^2)sinθ-r(dθ/dt)^2cosθ

なので教科書は合ってますよ。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/06 13:57

定理：dx/dt=(dx/dθ)・(dθ/dt)を利用

ｒの位置ベクトルについて
(x,y)=（rcosθ,tsinθ)であるから
x=rcosθ
dx/dθ=-rsinθ　で
dx/dt=(dx/dθ)・(dθ/dt)
=-rsinθ・(dθ/dt)　←←←ｖのｘ成分
dθ/dtをθ'とでもしておけば
dx/dt=-rsinθ・θ'・・・①　となりますよね

次に
定理y=fgならばy'=f'g+fg'を利用して
①をもう一度tで微分
(d/dt)　(-rsinθ・θ')
={(d/dt)(-rsinθ)}・θ'+[-rsinθ・{(d/dt)θ'}] 　←←←fに-rsinθを、gにθ'を当てはめた
=-rcosθ・dθ/dt・θ'＋[-rsinθ・θ'']　
=-rcosθ・dθ/dt・dθ/dt＋[-rsinθ・θ'']
　　↑
　マーカー部

画像とは式の順番が前後していますがこんな感じです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2018/11/06 14:08

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/06 14:01

>x成分とy成分はたしかに引数θの関数ですが

>成分を()で示したものを関数として扱ってよいのでしょうか

べクトルを返す関数です。これをF(θ)とするとその微分係数は
dF(θ)/dθ=limⅠΔθ→0]{f F(θ+Δθ)-F(θ)}/Δθ
と定義出来ます。スカラー関数と同じで、成分毎にスカラー関数の
微分と同じやり方が使えます。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時：2018/11/06 14:07