角度θの時、点 Aは画像のようになりますが、 なぜ残りの角度180°-θとすると座標は cosθ,

角度θの時、点 Aは画像のようになりますが、
なぜ残りの角度180°-θとすると座標は
cosθ, sinθではなく、- cosθ, sinθとなるのでしょうか？
cos(180°- θ)を計算すると -cosθとでます。
それとも余った角度の表し方が間違っているのでしょうか？
どうかよろしくおねがいします。

質問者からの補足コメント

• mastさん、質問があります。
  180°-θは画像の黒い部分を表すのではないでしょうか？

  
    補足日時：2019/07/10 12:15

• ワヨンさん、
  改めて正しい図を描いてみました。
  正しいか確認していただけないでしょうか？

  
    補足日時：2019/07/10 12:24

• mastさんありがとうございます。
  では、計算過程としては
  先程改めて描いたこちらの画像は正しいという事で良いでしょうか？

  
    補足日時：2019/07/10 12:33

No.10 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/10 15:01

全般的に、まずテキストを見て三角関数の定義を再確認してください

3番目の補足について
画像は全体的にもやもやしています。
というのも、α、βが角度を表しているのか円周上の点を表しているのかはっきりしないからです。というのも円周上に矢印が書かれているからです
（もし、円周上に矢印を書いたという事であれば、円周上に矢印を書くのはやめた方がいいと思います。）

α、βは円周上の点という意図だと思うので、その場合の続きは以下です

画像中・下段「-θ」はあなたの混乱を生む原因かも。
しっかりと理解できるまでは、図中・下段のマイナスθは書き込まない方が良いかも
マイナスθを消した場合、点βの座標は角度Aを用いて(cosA,sinA)
A=180-θだから
A(cos(180-θ),sin(180-θ))
加法定理を使えば
A(-cosθ,sinθ)

加法定理に頼らないで処理するなら、（下図の赤三角と青三角は合同だから）点αとβはy軸に関して対称な位置にあるのでαの座標が(cosθ、sinθ）なら
βの座標は(-cosθ、sinθ）・・・(Ⅰ）

あなたの補足画像に書かれていることを、補足と修正するなら
まず、反時計回りの回転を＋として、基本的にθは角度の大きさを表わすものとして扱うのです（つまり、θは＋の数値扱いで考えを進めます）
「-θは180度からもどってくるので」→「-θは180度から時計回りにθもどって」という意味です。180度から戻ってくるのだから、その続きで「-180度」が出てくること自体あり得ません
なので、画像下段は意味不明という事になってしまいます。

θの動径と、180-θの動径が１つの図に書き込まれているのは、図形の対称性（三角形の合同）を利用して、αの座標からβの座標を特定するのが目的の主なものだと思います
（Ⅰ）の考え方で類題を考えてみてくださいませ。

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/10 15:08

＞座標はcosθ, sinθではなく、- cosθ, sinθとなるのでしょうか？

なりません。「なぜ？」以前に事実が間違っています。
A の座標は(-cosθ,sinθ) ではなく (cosθ,sinθ) です。

No.8 回答者： takoハ 回答日時： 2019/07/10 13:45

三角関数は理解しないと、暗記では多すぎて対応できないでしょう！

また、数3なら、微積分にも出てきますからね！

No.7 回答者： takoハ 回答日時： 2019/07/10 13:05

cos(180-θ)=底辺/斜辺で、底辺＜0だから

=ーcosθ

sin(180-θ)=高さ/斜辺で、高さ＞0だから、
=sinθ

三角関数は、まず、グラフにて概形を覚えてから、単位円での理解に進んで欲しいね！

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
今後は真剣に学びますのでどうかよろしくおねがいします。

お礼日時：2019/07/10 13:40

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/10 12:39

補足については、昼食後解答いたします（少々お待ちください）

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/10 12:38

mastさん、質問があります。

180°-θは画像の黒い部分を表すのではないでしょうか？

＞Aの座標の決め方は、
「ｘ軸の正の部分から測って反時計回りに角度θである半径OAにつてA(cosθ,sinθ）」です・・・(ほぼ)定義
だから、x軸の負の部分から測ってはいけません。
180-θについて考えるならば、改めてx軸の正に部分から180-θの半径を引きなおして考える必要があるのです。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/10 12:30

ちなみに、載せていただいた図は図形で考えた場合とそうでない場合でも同じになるのでしょうか？

＞私の回答は、前半部分も後半部分も結局下図（左）の場合についてのA'の座標のこと言っているのです。
混乱を招くような場合は、「残りの角180-θ（下図左の青部分）」をあえて図に書き込まないで、左図のような状態で考える方が良いかもしれません。

また、no2の前半部分が言いたいことは以下です
OXとOAのなす角度をαとするとAの座標は(cosα、sinα)です（右図）
90<θ<180として
α=θを代入とするとあなたの書いた図と同じになりAの座標は(cosα、sinα)＝(cosθ、sinθ）となります。（左図黒の動径OAの状態）
α=180-θを代入とすると、A（A')の座標は加法定理により、(cosα、sinα)＝(cos(180-θ)、sin(180-θ)）=(-cosθ,sinθ)となります。　（左図赤の動径OA'の状態）

更に
加法定理を使わずに左図だけで処理するなら、図形の対称性によりA'の座標は(-cosθ,sinθ)ということをno2後半で述べさせてもらいました。

結局、得られる結果はどちらも同じでA'の座標は(-cosθ,sinθ)となります。

No.3 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/07/10 11:22

180°ーθの角度の大きさは、図に示した通りで問題ありません。

ただ、その大きさの開始位置が正しくないため疑問が生じています。
図で示した大きさ分、開始位置（０°）から表すと、
Ａ座標の縦軸に関して対象な位置まで進むこととなります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/10 11:21

あなたの書いた図の半径が１とすると、

三角関数の定義から
x軸の正方向を始線とし、始線から反時計回りに角度θの動径OAを書くと
Aの座標は(cosθ、sinθ）
ここで、始線と(180-θ)の角をなす動径（OA')をとれば
θを180-θに置き換えて
cos(180-θ)=cos180cos(-θ)-sin180sin(ｰθ)=-cosθ　
sin(180-θ)＝sinθ　　　　　（加法定理利用）
だからA'の座標は(-cosθ,sinθ)

図形だけで処理するなら下図
まず、θの動径OAを取るとAの座標は(cosθ、sinθ）
残りの角は180-θ
ただし、x軸の負の部分からこの角度を取ってもAの座標を表わすことには使えないので
（あくまでも、x軸の正方向から角θを取り動径OAを描いた時、図のようにAの座標は(cosθ、sinθ）ということに注意）
180-θの動径を考えるなら、新たに赤線の動径OA'を考えないといけない
図形の対称性から、A,A'のｙ座標はともにsinθ
黄色線と緑線の長さは等しく共にcosθだから
A'のx座標は-cosθ
従って、180-θの動径OA'をとればA'の座標は(-cosθ,sinθ)

ちなみに、90<θ<180の場合の図なので
-1<cosθ<0
0<-cosθ<1
だから、Aのｘ座標がマイナスとなりA'のｘ座標がプラスとなる下図について矛盾はない

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、載せていただいた図は図形で考えた場合とそうでない場合でも同じになるのでしょうか？

お礼日時：2019/07/10 11:29

No.1 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/07/10 10:59

０°を始点としないといけないから、180°ーθはＡ座標と縦軸に関して対象な位置になります。

これとＡ座標を比較するわけですから、ｘ座標の符号が変わる、
即ち、cos(180°ーθ)=ーcosθ
が示せます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。イマイチわからなかったのですが、0°から
左向きに180°行ってから、
右向きに180°-θだけ行くので正しいでしょうか？

お礼日時：2019/07/10 11:17