ルベーグ積分、不定積分の絶対連続性 画像1枚目のように、絶対連続を定義するとき、例1のように、不定積

ルベーグ積分、不定積分の絶対連続性
画像1枚目のように、絶対連続を定義するとき、例1のように、不定積分は絶対連続になるらしいのですが（2枚目の定理を用いる)、上手く証明できません。
教えて下さい

質問者からの補足コメント

• 2枚目です

  
    補足日時：2019/08/11 21:30

• 1枚目がぶれてしまったので、再度添付します

  
    補足日時：2019/08/11 21:31

• 絶対連続の定義です
  1枚目を2分割して投稿します。
  見えづらくてすみません

  
    補足日時：2019/08/12 19:11

• 1枚目後半です

  
    補足日時：2019/08/12 19:12

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/13 20:37

A=[a,b]

a≦x≦b
F(x)=∫_{a～x}f(t)dt

εがどんな正数でも
あるδが存在して
m(X)<δ
となる可測集合X⊂Aに対して
∫_{X}|f(x)|dx<ε
となる

a≦a_1<b_1≦a_2<b_2≦…≦a_n<b_n≦b
Σ_{p=1～n}(b_p-a_p)<δ
なるa_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_nに対して

[a_p,b_p]={x;a_p≦x≦b_p}
X=∪_{p=1～n}[a_p,b_p]⊂A
m(X)=Σ_{p=1～n}(b_p-a_p)<δ
だから
∫_{X}|f(x)|dx<ε
だから

Σ_{p=1～n}|F(b_p)-F(a_p)|
=Σ_{p=1～n}|∫_{a_p～b_p}f(x)dx|
≦Σ_{p=1～n}∫_{a_p～b_p}|f(x)|dx
=∫_{X}|f(x)|dx
<ε

∴
F(x)=∫_{a～x}f(t)dt
は
[a,b]で絶対連続である

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/15 14:17

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2019/08/15 08:08

リース、ナジー　の　関数解析学　上巻（共立出版株式会社）の　57p

の記述のほうが納得しやすいかもしれません。

古い本なので、図書館で探してみるか
ネットで古本を見つけて下さい。

https://www.kosho.or.jp/products/detail.php?prod …
高いですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/15 14:18

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/08/13 18:26

申し訳ありませんがぼくはルベーグ積分について、あまり詳しくはありません。

ただルベーグ積分にくわしい方があなたの質問に目に触れやすいように
したがってそういう方からの回答をあなたが得られやすいようにと
先の忠告を申し上げたまでです。

ただ、ぼくのもっている教科書には以下の記述があります。
それは関数ｆを2つの正の値の関数ｆ₁、ｆ₂の差で表わして
ｆの積分をｆ₁の積分とｆ₂の積分の差と考えるということです。
するとｆ₁、ｆ₂のそれぞれの不定積分は単調増加関数なので
それぞれの不定積分の絶対連続性があなたのあげた定理によって
すぐに示され、したがってその結果として
絶対連続関数の差としてのもとの不定積分の絶対連続性も出てくる、
というものです。

他の方からのご回答をぼくも待ちたいものです。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/15 13:56

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/08/12 12:19

絶対連続の定義の写真がよく見えないですねぇ。