数学IIIの複素数平面についての問題です。

数学IIIの複素数平面の問題です。
解説付きでお願いします。


複素数平面上の点A( α )、B(β)、C(γ)がそれぞれ次の点で与えられているとする。
α=r(cosθ+isinθ)
β=r{cos(θ+2/3π)+isin(θ+2/3π)}
γ=r{cos(θ+
4/3π)+isin(θ+4/3π)}
ただし、r>0とする。このとき、次のことを示せ。

(１)△ABCは原点を重心とする正三角形になる。
(２) α ^2、β^2、γ^2を頂点とする三角形は、正三角形になる。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/03 08:45

（１）

点A( α )、B(β)、C(γ)の仮定から３つの点は原点を中心とした半径ｒの円周上の点である。
３つの点は原点を中心とした半径ｒの円周上の点である。
点B(β)は点A( α )から原点を中心に2/3*π＝120°反時計回りに回転した点である。
点C(γ)は点B(β)から原点を中心に4/3πー2/3*π＝120°反時計回りに回転した点である。
よって、点A(α)は点C(γ)から原点を中心に360°ー240°＝120°反時計回りに回転した点である。
従って、△ABCは原点を重心とする正三角形になる。
（２）加法定理を使います。
α²＝ｒ²（cos２θ＋isin2θ)
β²＝ｒ²（cos(２θ+4/3π)＋isin(2θ+4/3π))
γ²＝ｒ²（cos(２θ+8/3π)＋isin(2θ+8/3π))
から、３つの点は原点を中心とした半径ｒ²の円周上の点である。
点β²は点α²から原点を中心に4/3π＝240°反時計回りに回転した点である。時計回りでは
120°回転した位置になる。
点γ²は点β²から原点を中心に8/3π-4/3π＝240°反時計回りに回転した点である。時計回りでは120°回転した位置になる。
よって、点α²は点γ²から原点を中心に時計回りに120°回転した位置になる。
従って、 α ^2、β^2、γ^2を頂点とする三角形は、正三角形になる。