電気回路学 物理学 数学 i=8√2sinωt+6√2sin(3ωt+π/6)の式で表される非正弦波

電気回路学 物理学 数学
i=8√2sinωt+6√2sin(3ωt+π/6)の式で表される非正弦波交流の実効値を求める解説を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/06 14:12

周期がTの時間の関数 i(t)の実効値 Iの定義は

I=√{(1/T)∫[0,T] i(t)² dt}
です。
今回の場合、周期は T=w/2π で（3wもwと同じ、Tの周期とも言える）
i=(√2)I₁sinwt+(√2)I₂sin(3wt+θ) , I₁=8 , I₂=6 , θ=π/6 です。
すると
I²=(1/T)∫[0,T] i(t)² dt=(1/T)∫[0,T] { (√2)I₁sinwt+(√2)I₂sin(3wt+θ) }²dt
=(1/T)∫[0,T] { 2I₁²sin²wt+2I₂²sin²(3wt+θ)+4I₁I₂sinwt sin(3wt+θ) }dt

ここで、
∫[0,T] 2I₁²sin²wt dt=I₁²∫[0,T] {1-sin(2wt)} dt=I₁²T+0=I₁²T・・・半角の公式
同様に
∫[0,T] 2I₂²sin²(3wt+θ) dt=I₂²T

∫[0,T] 4I₁I₂sinwt sin(3wt+θ) dt
=2I₁I₂∫[0,T] {cos(2wt+θ)wt-cos(4wt+θ)} dt=0・・・・・積和の公式
となるので

I²=(1/T){I₁²T+I₂²T}=I₁²+I₂²
となる。したがって、

I=√(I₁²+I₂²)=√(8²+6²)=10
となる(θには無関係)。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/06 13:01

高校生の方ですか？