高校物理の問題について質問です。 図1のように水平な床の上に，水平面となす角度がθの十分に長い斜面を

高校物理の問題について質問です。

図1のように水平な床の上に，水平面となす角度がθの十分に長い斜面をもつ質量Mの台Aを置き，その斜面上に，軽くて伸び縮みしない糸の一端を結んだ質量mの小物体Bを載せ，糸の他端を斜面の上端に固定する．初め，図1のように，糸が張った状態で、A. Bともに静止しているものとする．ただし．以下では台Aが床から離れることはないものとし，床と台A,および台Aと小物体Bとの間の摩擦は無視できるものとする．重力加速度の大きさをgとして，次の設問に答えよ
I 初めの状態から，台Aに水平左向きの力を加える場合について考える．図1の状態から，Aに水平左向きにある大きさの力を加えたところ，糸がたるむことなく，AとBは一体となって運動し，床に対する加速度の大きさはaであった．
(1) このときの糸の張力の大きさT,およびBが斜面から受ける垂直抗力の大きさNをそれぞれ求めよ．


力を
斜面に沿って水平方向と鉛直方向に分解した時
T=mgsinθ+macosθ
N=mgcosθ+masinθ

地面に沿って水平方向と鉛直方向に分解した時
Tcosθ-Nsinθ-ma=0
Tsinθ+Ncosθ-mg=0
これを解いてN=mgcosθ-masinθ

となり、答えが合わないのは何故でしょうか。
間違っているところを指摘して貰えると嬉しいです！

質問者からの補足コメント

• 問題です。

  
    補足日時：2020/05/14 21:58

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/15 20:26

左向きの力で発生する加速度 a を、斜面上の座標で「右向きの慣性力」と考えるか、床上の座標で「左向きの力」（それによって小物体Ｂが加速度運動している）と考えるかの問題ですね。

質問者さんは後者（床上の座標）で考えられているようです。それで考えれば、「力のつり合い」ではなく「小物体Ｂの加速度運動」ですから、運動方程式を立てる必要があります。
（それは #1 さんも指摘されています）

・小物体に働く力は
　・鉛直下向きに重力 mg
　・斜面に垂直上向きに垂直抗力 N
　・斜面に平行上向きに張力 T
・小物体の運動は、水平左方向に加速度 a
です。

まず、斜面方向と斜面に垂直な方向を考えれば、
・斜面方向の運動方程式：斜面下方向を正として
　ma*cosθ = mg*sinθ - T　　　①　←左辺は「運動の変化」、右辺は「力」
・斜面に垂直方向の運動方程式：上方向を正として
　ma*sinθ = N - mg*cosθ　　　②　←左辺は「運動の変化」、右辺は「力」

①では、質問者さんは加速度方向を逆に考えています。

次に、床から見て水平方向、鉛直方向で考えれば、
・水平方向の運動方程式：左方向を正として
　ma = N*sinθ - T*cosθ　　　　③　←左辺は「運動の変化」、右辺は「力」
・鉛直方向の運動方程式：上方向を正として
　0 = N*cosθ + T*sinθ - mg　　　④　←左辺は「運動の変化」、右辺は「力」

これも、③では、質問者さんは加速度方向を逆に考えています。

これで解けば
①より　T = mg*sinθ - ma*cosθ　　　⑤
②より　N = mg*cosθ + ma*sinθ　　　⑥

同様に
④から N = (mg - T*sinθ)/cosθ　として③に代入すれば
　ma = [(mg - T*sinθ)/cosθ]*sinθ - T*cosθ
→　ma*cosθ = (mg - T*sinθ)*sinθ - T*cos²θ
　　　　　　= mg*sinθ - T*sin²θ - T*cos²θ
　　　　　　= mg*sinθ - T
より
　T = mg*sinθ - ma*cosθ
で⑤と一致。

④から T = (mg - N*cosθ)/sinθ　として③に代入すれば
　ma = N*sinθ - [(mg - N*cosθ)/sinθ]*cosθ
→　ma*sinθ = N*sin²θ - (mg - N*cosθ)*cosθ
　　　　　　= N*sin²θ - mg*cos + N*cos²θ
　　　　　　= N - mg*cos
より
　N = mg*cos + ma*sinθ
で⑥と一致。


もうひとつの、左向きの力で発生する加速度 a を斜面上の座標で「右向きの慣性力」と考えるやり方であれば、小物体Ｂは斜面上を動かないので、「力のつり合い」で解くことができます。この場合の「慣性力」の加速度 a は水平右方向に働くことになります。

そうすれば、小物体に働く力は
　・鉛直下向きに重力 mg
　・斜面に垂直上向きに垂直抗力 N
　・斜面に平行上向きに張力 T
　・水平右方向に慣性力 ma
になり、これらがつり合います。

斜面方向と斜面に垂直な方向を考えれば、
・斜面方向の力のつり合い：
　mg*sinθ = T + ma*cosθ　　　⑦　←左辺は斜面下向きの力、右辺は斜面上向きの力
　　これは移項すれば上の①と同じですね。
・斜面に垂直方向の運動方程式：
　N = mg*cosθ + ma*sinθ　　　⑧　←左辺は斜面に垂直の上向きの力、右辺は斜面に垂直の下向きの力
　　これは移項すれば上の②と同じですね。

次に、床から見て水平方向、鉛直方向で考えれば、
・水平方向の力のつり合い：
　N*sinθ = ma + T*cosθ　　　　⑨　←左辺は左向きの力、右辺は右向きの力
　　これは移項すれば上の③と同じですね。
・鉛直方向の力のつり合い：
　mg = N*cosθ + T*sinθ　　　　⑩　←左辺は下向きの力、右辺は上向きの力
　　これは移項すれば上の④と同じですね。

ということで、異なった座標系で考えても同じ結果が得られます。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/14 22:16

力を分解という考え方ではなく　運動方程式を立てるというほうが良いかもしれません（質問者さんの式は向きの扱いが曖昧なのかプラマイが誤っているようです）

斜面に沿って水平方向と鉛直方向に分解して運動方程式を考えると
T=mgsinθ+macosθ＜＜＜正しくは、加速度の向き（左斜め下）を正に運動方程式を立てるとmacosθ＝mgsinθ-T 　⇔T=mgsinθ-macosθ
N=mgcosθ+masinθ＜＜＜加速度の向き：斜面に垂直（左斜め上向き）を正として運動方程式をつくると、masinθ=N-mgcosθ　よりこちらの式はOK　


地面に沿って水平方向と鉛直方向に分解して運動方程式を考える
Tcosθ-Nsinθ-ma=0＜＜＜運動方程式は加速度の向き（左）を正として　ma=Nsinθ-Tcosθ　⇔-Tcosθ+Nsinθ-ma=0 よってプラスマイナスが逆
Tsinθ+Ncosθ-mg=0＜＜＜OK

第2式から　T=(mg-Ncosθ)/sinθ
1式へ、　-{(mg-Ncosθ)/sinθ}cosθ+Nsinθ-ma=0
N｛(cos²θ/sinθ)+sinθ｝=ma+mgcosθ/sinθ
⇔N=masinθ+mgcosθ・・・斜面に沿って分解の第2式と一致！